[论文解读] Time-dependent Darboux transformation and supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations

Choon-Lin Ho|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种时变Darboux变换框架，用于求解具有恒定扩散和非稳态漂移的Fokker-Planck方程（FPEs）。通过将FPE映射到非稳态Schrödinger方程，并应用超对称量子力学技术，当漂移势满足形状不变性时，构建了一组相互关联的FPEs，其解通过Darboux变换相关联，从而为一大类时变系统提供了精确解析解。

ABSTRACT

A procedure is presented for solving the Fokker-Planck equation with constant diffusion but non-stationary drift. It is based on the correspondence between the Fokker-Planck equation and the non-stationary Schr\"odinger equation. The formalism of supersymmetric quantum mechanics is extended by applying the Darboux transformation directly to the non-stationary Schr\"odinger equation. From a solution of a Fokker-Planck equation a solution of the Darboux partner is obtained. For drift coefficients satisfying the condition of shape invariance, a supersymmetric hierarchy of Fokker-Planck equations with solutions related by the Darboux transformation is obtained.

研究动机与目标

• 将超对称量子力学扩展至时变系统，以求解Fokker-Planck方程。
• 开发一种系统化方法，用于生成具有非稳态漂移和恒定扩散的FPEs的精确解。
• 利用形状不变势构建FPEs的超对称层级。
• 证明伙伴FPE的解通过时变Darboux变换相互关联。

提出的方法

• 通过变换 P(x,t) = e^{-W(x,t)}ψ(x,t) 将具有恒定扩散的Fokker-Planck方程映射为非稳态Schrödinger方程。
• 直接将时变Darboux变换应用于非稳态Schrödinger方程，使用原方程的一个解 ψ₀。
• 通过公式 Ṽ = V - 2(ln ψ₀)′′ 和 ψ̃ = (∂x - (ln ψ₀)′)ψ 推导出变换后的势能 Ṽ 和波函数 ψ̃。
• 利用预势 W(x,t) 定义漂移系数为 D(1)(x,t) = -2W′(x,t)，将FPE与量子力学势能关联。
• 对预势 W₀ 施加形状不变性条件，以生成具有等谱解的FPEs递归层级。
• 通过涉及导数和指数因子的递推公式，从 Pₙ(x,t) 构造 Pₙ₊₁(x,t) 的 n 阶解。

实验结果

研究问题

• RQ1 时变Darboux变换能否应用于具有恒定扩散的非稳态Fokker-Planck方程？
• RQ2 如何将超对称量子力学扩展至时变系统以求解FPEs？
• RQ3 在何种条件下可构建具有解析可解解的FPEs超对称层级？
• RQ4 预势的形状不变性在何种条件下可导致闭式解层级的生成？

主要发现

• 成功地将时变Darboux变换应用于由具有恒定扩散的Fokker-Planck方程导出的非稳态Schrödinger方程。
• Fokker-Planck方程及其Darboux伙伴的解通过涉及解 ψ₀ 的对数导数的变换相互关联。
• 当预势 W₀ 满足形状不变性条件时，生成了一个完整的Fokker-Planck方程层级，每个方程的解通过Darboux变换相互关联。
• 该层级的第 n 个成员具有漂移系数 D(1) = -2W′ₙ，其中 Wₙ 是由参数集 {a₀, a₁, ...} 参数化的预势。
• 第 (n+1) 个FPE的解 Pₙ₊₁(x,t) 通过公式 Pₙ₊₁ = e^{-(Wₙ₊₁ - Rₙt)}(∂x + W′ₙ)(e^{Wₙ}Pₙ) 从 Pₙ(x,t) 得到，其中 Rₙ 是时变缩放因子。
• 该方法为一大类具有非稳态漂移的FPEs提供了精确解析解，将超对称技术的应用范围从时不变情形扩展至更广的领域。