[论文解读] Time Dependent Hamiltonian Simulation Using Discrete Clock Constructions

J. Watkins, Nathan Wiebe+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 8

一句话总结

本文提出了一种离散时钟构造，通过将时间依赖的哈密顿量映射到扩展的希尔伯特空间上的时间无关系统，实现对时间依赖哈密顿量的模拟，从而能够应用成熟的乘积公式和量子比特化技术。该方法实现了对数误差标度和基于对易子的误差抑制，优于现有针对物理局域时间依赖哈密顿量的方法。

ABSTRACT

Compared with time independent Hamiltonians, the dynamics of generic quantum Hamiltonians $H(t)$ are complicated by the presence of time ordering in the evolution operator. In the context of digital quantum simulation, this difficulty prevents a direct adaptation of time independent simulation algorithms for time dependent simulation. However, there exists a framework within the theory of dynamical systems which eliminates time ordering by adding a "clock" degree of freedom. In this work, we provide a computational framework, based on this reduction, for encoding time dependent dynamics as time independent systems. As a result, we make two advances in digital Hamiltonian simulation. First, we create a time dependent simulation algorithm based on performing qubitization on the augmented clock system, and in doing so, provide the first qubitization-based approach to time dependent Hamiltonians that goes beyond Trotterization of the ordered exponential. Second, we define a natural generalization of multiproduct formulas for time-ordered exponentials, then propose and analyze an algorithm based on these formulas. Unlike other algorithms of similar accuracy, the multiproduct approach achieves commutator scaling, meaning that this method outperforms existing methods for physically-local time dependent Hamiltonians. Our work reduces the disparity between time dependent and time independent simulation and indicates a step towards optimal quantum simulation of time dependent Hamiltonians.

研究动机与目标

• 为使用多乘积公式（MPFs）和量子比特化方法模拟时间依赖哈密顿量，解决缺乏可扩展且严格的方法的问题。
• 提供一个有限维、有界的形式化框架，通过离散时钟寄存器将时间有序指数映射为普通算符指数。
• 使时间无关模拟技术——特别是MPFs和量子比特化——能够应用于时间依赖动力学，并具备可证明的误差界。
• 建立一种系统化、可扩展的时间依赖哈密顿量模拟方法，同时具备对易子标度和对数误差标度。
• 在哈密顿量二阶导数有界条件下，证明将量子比特化推广至时间依赖情形的可行性。

提出的方法

• 引入有限维离散时钟寄存器以表示时间演化，将时间有序指数转化为扩展希尔伯特空间上的普通算符指数。
• 利用时钟寄存器通过离散时间位移算符编码时间演化，从而可应用标准的时间无关模拟技术。
• 在联合系统（物理系统 + 时钟）上构建时间无关的有效哈密顿量，确保所有算符均为有界且有限维。
• 在扩展系统上应用多乘积公式（MPFs），实现 $n$ 阶收敛性，并在时钟量子比特数上实现对数误差标度。
• 将形式化应用于将量子比特化推广至时间依赖哈密顿量，证明当哈密顿量的二阶导数较小时方法可行。
• 通过谱范数和 $L^1$-范数分析控制误差，确保随着时钟维度增加，方法收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散时钟构造能否提供一种严格、有限维的框架，用于利用时间无关模拟技术模拟时间依赖哈密顿量？
• RQ2 多乘积公式（MPFs）如何适应时间依赖哈密顿量，同时保持对易子标度并实现对数误差标度？
• RQ3 在何种条件下可将量子比特化推广至时间依赖哈密顿量？其复杂度权衡为何？
• RQ4 随着时钟量子比特数的增加，离散时钟构造的收敛行为如何？
• RQ5 所提出的方法在误差标度和资源复杂度方面能否优于现有时间依赖模拟算法？

主要发现

• 离散时钟构造使得可利用标准时间无关方法模拟时间依赖哈密顿量，且误差随时钟量子比特数增加而趋于零。
• 该方法在模拟时间与系统规模上实现了对数误差标度，显著优于标准乘积公式中的超多项式误差标度。
• 在时钟框架中应用多乘积公式（MPFs）可实现对易子标度，即当哈密顿量项相互对易时误差消失，相较于标准乘积公式具有超多项式优势。
• 数值结果表明，该算法在物理相关系统上的表现至少与理论预测一致，验证了理论误差界的有效性。
• 量子比特化可推广至时间依赖哈密顿量，但仅当哈密顿量的二阶导数足够小时才可行，因此其实际应用受限于弱时间依赖情形。
• 谱范数与 $L^1$-范数分析提供了误差的严格界，确保了该方法的系统可改进性与可扩展性。