[论文解读] Time-dependent product-form Poisson distributions for reaction networks with higher order complexes

David F. Anderson, David Schnoerr+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文確立了一個必要且充分的條件——動態受限複合平衡（DR）——用於具有高階複合物的隨機反應網絡，當初始分佈為泊松乘積形式時，其時間變動分佈在所有時間仍保持為泊松乘積分佈。該結果將經典的乘積形式穩態分佈推廣至瞬態階段，透過求解決定性質量作用方程的時變平均向量實現。

ABSTRACT

It is well known that stochastically modeled reaction networks that are complex balanced admit a stationary distribution that is a product of Poisson distributions. In this paper, we consider the following related question: supposing that the initial distribution of a stochastically modeled reaction network is a product of Poissons, under what conditions will the distribution remain a product of Poissons for all time? By drawing inspiration from Crispin Gardiner's "Poisson representation" for the solution to the chemical master equation, we provide a necessary and sufficient condition for such a product-form distribution to hold for all time. Interestingly, the condition is a dynamical "complex-balancing" for only those complexes that have multiplicity greater than or equal to two (i.e. the higher order complexes that yield non-linear terms to the dynamics). We term this new condition the "dynamical and restricted complex balance" condition (DR for short).

研究动机与目标

• 識別在初始分佈為乘積形式時，隨機反應網絡的時間變動分佈仍保持為泊松乘積形式的條件。
• 將經典的乘積形式穩態分佈結果（泊松乘積）推廣至瞬態、時間變動的階段。
• 描述維持乘積形式結構的平均向量c(t)的動態特性。
• 將Gardiner的泊松表示推廣至具有高階複合物的網絡。
• 建立在穩態情況之外，保持乘積形式泊松分佈的必要且充分條件。

提出的方法

• 引入僅適用於二階或更高階複合物的動態受限（DR）複合平衡條件。
• 使用Gardiner的泊松表示法推導化學主方程的時間變動解。
• 透過比較柯尔莫哥洛夫前向方程係數，推導出時間變動分佈仍保持為泊松乘積的必要且充分條件。
• 運用多項式獨立性論證，證明DR條件既是必要也是充分的。
• 證明時變平均向量c(t)滿足決定性質量作用ODE，從而確保乘積形式結構被保留。
• 透過主方程中係數匹配，建立DR條件與乘積形式保留之間的等價性。

实验结果

研究问题

• RQ1 當一個以隨機方式建模的反應網絡包含高階複合物時，若初始分佈為乘積形式，其在所有時間內保持乘積形式泊松分佈的條件為何？
• RQ2 即使網絡包含非線性（高階）複合物，反應網絡的時間變動分佈是否仍可保持為泊松乘積？
• RQ3 對於網絡結構與動力學，確保乘積形式在動態下被保留的必要且充分條件是什麼，而不僅僅是在穩態下？
• RQ4 時變平均向量c(t)與決定性質量作用動力學之間的關係為何，以維持乘積形式？
• RQ5 是否存在Gardiner泊松表示法在具有高階複合物的網絡上的推廣，能保持乘積形式結構？

主要发现

• 時間變動分佈仍保持為泊松乘積的必要且充分條件是僅適用於二階或更高階複合物的動態受限（DR）複合平衡條件。
• 維持乘積形式的時變平均向量c(t)是決定性質量作用ODE的解，初始條件為c(0) = c̃。
• DR條件確保柯尔莫哥洛夫前向方程中係數匹配對所有x成立，從而維持乘積形式結構。
• 與二階及更高階複合物相關的函數f_i(x) = g_{x,c}(z_i)具有線性獨立性，這是證明DR條件必要性的關鍵。
• 對於僅含零階與一階複合物的網絡，DR條件退化為經典複合平衡，從而恢復Gardiner已知結果。
• 證明依賴多項式次數分析，顯示係數總和為零，意味著DR條件必須對所有高階複合物成立。