[论文解读] Time-dependent variational principle with controlled bond expansion for matrix product states

Jheng-Wei Li, Andreas Gleis+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2022

Numerical methods for differential equations参考文献 92被引用 4

一句话总结

本文在时间演化变分原理（TDVP）框架下，为矩阵乘积态（MPS）提出了一种受控键维扩展（Controlled Bond Expansion, CBE）方法，实现了时间演化过程中键维的动态自适应调整，从而在保持单站点TDVP的高效性与稳定性的同时，显著降低投影误差。CBE–TDVP以接近单站点的计算开销实现了双站点TDVP的精度，使量子动力学的长时间、高精度模拟成为可能，且误差增长可控。

ABSTRACT

We present a controlled bond expansion (CBE) approach to simulate quantum dynamics based on the time-dependent variational principle (TDVP) for matrix product states. Our method alleviates the numerical difficulties of the standard, fixed-rank one-site TDVP integrator by increasing bond dimensions on the fly to reduce the projection error. This is achieved in an economical, local fashion, requiring only minor modifications of standard one-site TDVP implementations. We illustrate the performance of CBE--TDVP with several numerical examples on finite quantum lattices.

研究动机与目标

• 为解决标准单站点TDVP（1TDVP）因秩固定而无法追踪时间演化过程中纠缠增长的问题。
• 开发一种秩自适应积分器，在保持1TDVP数值稳定性、幺正性与能量守恒的同时，提升精度。
• 在计算开销接近1TDVP的水平下，实现双站点TDVP级别的精度，避免传统自适应方法带来的高开销。
• 通过局部且经济的方案，动态扩展MPS键维，以控制TDVP投影误差。

提出的方法

• 引入受控键维扩展（CBE）方法，识别并添加1TDVP遗漏但包含$H\Psi$显著权重的子空间，从而减少投影误差。
• 通过允许键维在运行时动态增加，对标准1TDVP算法进行修改，使用文献[54]中的CBE方案指导扩展过程。
• 利用切空间投影算符$\mathcal{P}^{1\mathrm{s}}(t)$将$H\Psi(t)$投影到MPS流形上，同时动态调整键维。
• 应用CBE方案计算截断补集$\widetilde{A}^{\mathrm{tr}}_{\ell}$，以捕捉$H\Psi$中正交于当前MPS切空间的分量。
• 以局部且经济的方式实现该方法，仅需对标准1TDVP代码进行微小修改。
• 通过有效哈密顿量奇异值的阈值$\widetilde{\epsilon}$控制键维扩展，确保误差保持有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1TDVP时间演化过程中，能否自适应地增加键维，以减少投影误差，同时不牺牲计算效率？
• RQ2 CBE–TDVP是否在保持1TDVP幺正演化与能量守恒的前提下，实现了双站点TDVP的精度？
• RQ3 CBE–TDVP的误差随长时间演化如何演变？尽管存在动态键维增长，其误差是否仍可被有效控制？
• RQ4 CBE–TDVP相对于2TDVP的计算开销如何？其随系统尺寸与物理维度$d$的缩放特性是否有利？
• RQ5 CBE–TDVP能否模拟1TDVP因秩固定而无法捕捉的对称性破缺初态（如畴壁态）？

主要发现

• CBE–TDVP在长时间演化中，保真度误差$\delta F(\bar{t})$达到$6.7 \times 10^{-5}$的平台，表明误差受控且不累积。
• 即使采用相对较大的扩展阈值$\widetilde{\epsilon} = 10^{-2}$，误差仍保持有界且未迅速增长，显示出良好的鲁棒性。
• 当$D_{\mathrm{max}} = 120$时，保真度误差稳定在$6.7 \times 10^{-5}$，进一步将$D_{\mathrm{max}}$增至无穷大仅使该值略有降低。
• 在畴壁初态下，CBE–TDVP显著优于1TDVP：1TDVP完全失效（保真度降至零），而CBE–TDVP保持高保真度。
• 与2TDVP相比，CBE–TDVP将CPU时间降低了数量级——在不到一天内完成1.5个时间单位的模拟，而2TDVP需两天才能达到相同精度。
• CBE–TDVP中的键维增长缓慢且呈次指数增长，与2TDVP中迅速饱和的现象截然不同，尽管存在$D^3$的标度，仍实现了显著的计算成本节省。