[论文解读] Time Derivative of Rotation Matrices: A Tutorial

Shiyu Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 4被引用 6

一句话总结

本教程通过旋转运动学推导了旋转矩阵的时间导数，表明其等于表示角速度的反对称矩阵与旋转矩阵本身的乘积。其主要贡献在于清晰地解释了反对称矩阵作为角速度矢量在世界坐标系或机体坐标系中的物理意义，具体取决于公式形式，该结果在机器人学和基于IMU的运动估计中具有实际应用价值。

ABSTRACT

The time derivative of a rotation matrix equals the product of a skew-symmetric matrix and the rotation matrix itself. This article gives a brief tutorial on the well-known result.

研究动机与目标

• 阐明旋转矩阵时间导数中反对称矩阵的物理意义。
• 解决标准旋转矩阵导数公式中角速度矢量参考坐标系的模糊性问题。
• 为机器人学与控制系统提供一种具有物理解释的旋转运动学方程推导方法。
• 展示当角速度通过IMU在机体坐标系中测量时，该导数公式的实际应用价值。

提出的方法

• 通过分析固定在旋转坐标系 $ B $ 中的点的运动，推导旋转矩阵 $ R_B^A $ 的时间导数，利用关系式 $ \dot{P}_A = \dot{R}_B^A P_B $。
• 利用运动学关系 $ \dot{P}_A = w_A \times P_A = [w_A]_\times P_A $，将线速度与世界坐标系中的角速度联系起来。
• 将 $ \dot{P}_A $ 的两个表达式等同，得到 $ \dot{R}_B^A = [w_A]_\times R_B^A $，其中 $ w_A $ 为世界坐标系中的角速度。
• 重新表述导数，使用机体固定角速度 $ w_B $，得到 $ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $，该形式可直接用于IMU测量。
• 应用恒等式 $ [R w]_\times = R [w]_\times R^T $，实现不同坐标系间反对称矩阵的变换。
• 通过推导二维情况下的结果 $ \dot{R}_\alpha = [-\sin\alpha \; -\cos\alpha; \; \cos\alpha \; -\sin\alpha] \dot{\alpha} $，验证其为三维公式的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 旋转矩阵时间导数中反对称矩阵的物理解释是什么？
• RQ2 角速度参考坐标系的选择如何影响旋转矩阵导数的形式？
• RQ3 为何涉及机体固定角速度的方程在配备IMU的机器人系统中更具实用性？
• RQ4 当世界坐标系与机体坐标系的原点不重合时，标准导数公式在何种条件下仍成立？
• RQ5 如何将二维旋转矩阵导数作为三维公式的特例推导出来？

主要发现

• 旋转矩阵 $ R_B^A $ 的时间导数为 $ \dot{R}_B^A = [w_A]_\times R_B^A $，其中 $ w_A $ 为世界坐标系中的角速度。
• 该导数亦可表示为 $ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $，其中 $ w_B $ 为机体坐标系中的角速度，可直接通过IMU测量获得。
• 只要角速度在机体坐标系中测量，公式 $ \dot{R}_B^A = R_B^A [w_B]_\times $ 即使在机体坐标系相对于世界坐标系平移时也保持有效。
• 反对称矩阵 $ [w_A]_\times $ 与 $ [w_B]_\times $ 的关系为 $ [w_A]_\times = R_B^A [w_B]_\times (R_B^A)^T $，该关系可用于坐标系间的变换。
• 当 $ w_B = \dot{\alpha} e_3 $ 时，二维旋转矩阵导数 $ \dot{R}_\alpha $ 与三维结果一致，验证了跨维度的一致性。
• 使用机体固定角速度的公式（6）和（8）在实时机器人应用中比使用世界坐标系角速度的公式更具实用性。