[论文解读] Time discretisation and $L_2$ stability of polynomial summation-by-parts schemes with Runge-Kutta methods

Hendrik Ranocha, Jan Glaubitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 18被引用 5

一句话总结

该论文将带有Runge-Kutta时间积分的多项式求和-部分（SBP）格式扩展至全离散格式，以确保$L_2$稳定性。通过采用通过重构的校正过程（CPR/FR）技术，并分析特定Runge-Kutta方法的稳定性，作者建立了时间离散化满足线性问题稳定性条件的依据，且通过数值例子得到验证。

ABSTRACT

Splitting the discretisation of a partial differential equation by the method of lines in a semidiscretisation in space and a following integration in time, the coupling of these schemes has to be considered for fully discrete stability. This article focuses at first on the extension of adaptive techniques developed by the authors for semidiscretisations in the correction procedure via reconstruction / flux reconstruction framework. Additionally, general results about stability of some Runge-Kutta methods for linear problems are established, followed by numerical examples.

研究动机与目标

• 将自适应稳定化技术从半离散空间格式扩展至全离散时空格式。
• 分析当与多项式求和-部分空间离散化耦合时，Runge-Kutta方法的$L_2$稳定性。
• 建立特定Runge-Kutta格式在何种条件下可保持线性时变PDE的稳定性的一般条件。
• 通过数值例子验证理论发现，展示稳定性和收敛性。

提出的方法

• 将通过重构的校正过程（CPR/FR）技术扩展至使用Runge-Kutta方法进行时间离散化。
• 对空间半离散化应用求和-部分（SBP）算子以确保稳定性。
• 通过分析其阶段值与SBP性质的一致性，推导出Runge-Kutta格式的稳定性条件。
• 使用能量方法证明在特定阶数和稳定性条件下，全离散系统的$L_2$稳定性。
• 实施数值实验，验证理论稳定性结果在典型线性模型问题上的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 当与SBP空间离散化耦合时，Runge-Kutta时间积分器在何种条件下可保持$L_2$稳定性？
• RQ2 CPR/FR-based空间格式如何扩展以确保全离散设置下的稳定性？
• RQ3 Runge-Kutta格式必须具备何种阶数和稳定性特性，才能与SBP算子共同保持$L_2$稳定性？
• RQ4 理论稳定性条件与模型问题中数值表现相比如何？

主要发现

• 本文建立了线性问题下全离散SBP-Runge-Kutta格式$L_2$稳定性的充分条件。
• 特定的对角隐式Runge-Kutta方法在与SBP算子结合且满足适当阶段一致性时，可保持稳定性。
• 将CPR/FR技术扩展至时间积分可保持空间半离散化的稳定性特性。
• 数值结果证实，理论稳定性条件与模拟中观察到的收敛性和有界性一致。