[论文解读] Time discretization of BSDEs with singular terminal condition using asymptotic expansion

Thomas Kruse, Julia Ackermann+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2026

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一句话总结

本文通过将渐近展开推广到一般生成器，研究了带奇异终端条件的BSDE的数值解法，分析了带显式终端条件依赖性的后向Euler误差，并给出在终端时间附近的Y展开，以实现对具有无限终端数据的PDE求解。

ABSTRACT

We consider a class of backward stochastic differential equations (BSDEs) with singular terminal condition and develop a numerical scheme to approximate their solution. To this end, we extend an asymptotic development of the BSDE solution known from the power case, which arises from optimal liquidation problems, to more general generators. This expansion allows to obtain a suitable approximation of the BSDE solution close to the terminal time. Using this as a terminal condition, we analyze the error of a backward Euler implicit scheme and detail its dependence on the terminal condition.

研究动机与目标

• 为在最优清算问题中出现的无限终端条件的BSDE提供数值计算动机。
• 将渐近展开技术推广到超越幂次的通用生成器。
• 开发并分析以近终端展开作为终端条件的后向Euler隐式方案。
• 通过对终端奇异条件和问题数据的显式依赖，量化离散化误差。
• 通过Feynman-Kac联系将BSDE结果与具有无限终端数据的PDE联系起来。

提出的方法

• 将Y的渐近展开扩展至超越幂次的生成器。
• 在[T−Δ, T]区间使用受控误差的近终端展开Y_t ≈ ξ_t。
• 分析从T−Δ开始、终端值为ξ_{T−Δ}的后向Euler隐式方案。
• 推导Euler方案的显式误差界，跟踪对ξ及数据的依赖。
• 给出在何种条件下Y存在类似幂次情形的近终端展开。
• 将BSDE框架与对应的反应扩散型PDE（具有无限终端数据）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成器为一般形式（不仅仅是幂次）时，如何对带奇异终端条件的BSDE进行数值逼近？
• RQ2 奇异终端条件对后向Euler方案的收敛速率和常数有何影响？
• RQ3 在何种条件下Y存在能够实现有效数值实现的近终端展开？
• RQ4 如何将数值方案与具有无限终端数据的相关PDE的求解联系起来？

主要发现

• 论文给出对隐式Euler方案的离散化误差界，该界中显式考虑了奇异终端条件和问题参数。
• 在终端时间附近给出Y的展开，将幂次情形的已知结果扩展到更一般的生成器。
• 该方法为通过BSDE-PDE联系求解具有无限终端数据的PDE提供了有效的算法框架。
• 分析显示离散化误差如何依赖所选的近终端近似ξ及网格大小h。
• 在适当假设下，给出确保用于展开的辅助过程有界性和稳定性的条件。
• 示例包括幂次和指数情形，以说明展开方法。