[论文解读] Time-domain response of nabla discrete fractional order systems

Yiheng Wei, Qing Gao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 28被引用 6

一句话总结

该论文利用N变换和离散Mittag-Leffler函数，建立了具有非零初始条件的nabla离散分数阶系统时域响应的存在性与唯一性。推导出显式解析解，并系统分析了零输入响应的动力学特性，包括收敛性、单调性及超调行为，通过在不同分数阶次和参数下的数值仿真得到验证。

ABSTRACT

This paper investigates the time--domain response of nabla discrete fractional order systems by exploring several useful properties of the nabla discrete Laplace transform and the discrete Mittag--Leffler function. In particular, we establish two fundamental properties of a nabla discrete fractional order system with nonzero initial instant: i) the existence and uniqueness of the system time--domain response; and ii) the dynamic behavior of the zero input response. Finally, one numerical example is provided to show the validity of the theoretical results.

研究动机与目标

• 解决关于具有非零初始条件的nabla离散分数阶系统时域响应缺乏系统分析的问题。
• 建立nabla离散拉普拉斯变换和离散Mittag-Leffler函数的基本性质。
• 基于N变换框架，推导系统响应的显式解析解。
• 研究零输入响应中的动态特性，如收敛性、单调性和超调行为。
• 通过在不同分数阶次和系统参数下进行数值仿真，验证理论结果。

提出的方法

• 利用N变换（nabla离散拉普拉斯变换）分析分数阶系统的时域响应。
• 将离散Mittag-Leffler函数作为表达系统解析解的核心组成部分。
• 应用离散Mittag-Leffler函数的半群性质，推导标量分数阶差分方程的显式解。
• 通过分析特征值在复平面上相对于临界圆的位置，推导系统稳定性和动态行为的条件。
• 对不同分数阶次α ∈ (0,2]和参数λ, b₀, b₁进行数值仿真，以验证理论预测。
• 使用逆N变换从频域表示重构时域信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非零初始条件的nabla离散分数阶系统时域响应在何种条件下存在且唯一？
• RQ2 零输入响应的动态特性（如收敛速度、超调和振荡）如何随分数阶次α和系统参数变化？
• RQ3 特征值λ的位置与系统响应的稳定性或振荡行为之间存在何种关系？
• RQ4 初始条件和系统参数的选择如何影响系统瞬态响应的单调性和超调？
• RQ5 通过离散Mittag-Leffler函数表达的解析解能否通过数值仿真有效计算并验证？

主要发现

• 通过N变换和离散Mittag-Leffler函数的性质，证明了具有非零初始条件的nabla离散分数阶系统时域响应的存在性与唯一性。
• 当α ∈ (0,1]时，零输入响应的收敛速度随α增大而提高，响应收敛较慢，类似于连续时间分数阶系统。
• 当α ∈ [1,2]时，增大α会导致上升时间变长且超调增加，振荡行为随α增大而更加显著。
• 当λ < 0时，|λ|越大，收敛越快且超调越小；当|λ| = 2^α cos^α(π/α)时，系统表现出持续振荡。
• 当α ∈ (1, 1.7)时，若b₁/b₀ ∈ [1,9]，系统响应无超调，表明在参数调节下可能存在非振荡行为的临界阶次α_c。
• 理论分析与仿真结果一致表明，离散Mittag-Leffler函数能准确刻画系统在多种参数区间下的瞬态动力学特性。