[论文解读] Time-Efficient Quantum Entropy Estimator via Samplizer

Qisheng Wang, Zhicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子算法框架——'samplizer'，通过独立样本实现对N维量子态的冯·诺伊曼熵与Rényi熵的时间高效估计。通过将量子查询算法转化为具有可证明最优样本复杂度的基于样本的算法，该方法在时间复杂度上实现了对先前方法的指数级加速——冯·诺伊曼熵降至Õ(N²)，Rényi熵降至Õ(N^{4/\alpha - 2})，同时保持了接近最优的样本使用量。

ABSTRACT

Entropy is a measure of the randomness of a system. Estimating the entropy of a quantum state is a basic problem in quantum information. In this paper, we introduce a time-efficient quantum approach to estimating the von Neumann entropy $S(ρ)$ and Rényi entropy $S_α(ρ)$ of an $N$-dimensional quantum state $ρ$, given access to independent samples of $ρ$. Specifically, we provide the following: 1. A quantum estimator for $S(ρ)$ with time complexity $ ilde O(N^2)$, improving the prior best time complexity $ ilde O(N^6)$ by Acharya, Issa, Shende, and Wagner (2020) and Bavarian, Mehraba, and Wright (2016). 2. A quantum estimator for $S_α(ρ)$ with time complexity $ ilde O(N^{4/α-2})$ for $0<α<1$ and $ ilde O(N^{4-2/α})$ for $α>1$, improving the prior best time complexity $ ilde O(N^{6/α})$ for $0<α<1$ and $ ilde O(N^6)$ for $α>1$ by Acharya, Issa, Shende, and Wagner (2020), though at a cost of a slightly larger sample complexity. Moreover, these estimators are naturally extensible to the low-rank case. We also provide a sample lower bound for estimating $S_α(ρ)$. Technically, our method is quite different from the previous ones that are based on weak Schur sampling and Young diagrams. At the heart of our construction, is a novel tool called samplizer, which can "samplize" a quantum query algorithm to a quantum algorithm with similar behavior using only samples of quantum states; this suggests a unified framework for estimating quantum entropies. Specifically, when a quantum oracle $U$ block-encodes a mixed quantum state $ρ$, any quantum query algorithm using $Q$ queries to $U$ can be samplized to a $δ$-close (in the diamond norm) quantum algorithm using $ ildeΘ(Q^2/δ)$ samples of $ρ$. Moreover, this samplization is proven to be optimal, up to a polylogarithmic factor.

研究动机与目标

• 开发一种时间高效的量子算法，用于在给定独立样本的情况下估计N维量子态ρ的冯·诺伊曼熵S(ρ)。
• 将该方法扩展至估计α > 1和0 < α < 1情况下的Rényi熵Sα(ρ)，并实现更优的时间复杂度。
• 引入一种新的量子原语——'samplizer'，可将量子查询算法转换为具有有界钻石范数误差的基于样本的算法。
• 建立冯·诺伊曼熵与Rényi熵估计的紧致样本复杂度下界，确认所提方法的最优性。

提出的方法

• 核心创新在于'samplizer'，一种将使用Q次查询的量子查询算法转换为使用Õ(Q²/δ)个ρ样本的基于样本的量子算法的变换，以在钻石范数下实现δ-接近的行为。
• samplizer利用量子Hadamard测试和特征值变换技术，仅通过ρ的状态制备即可模拟酉预言机的作用。
• 对于冯·诺伊曼熵，该方法通过对ρ的特征值上的函数f(x) = -x ln x进行多项式逼近，并通过块编码实现，再利用samplizer框架进行采样化。
• 对于Rényi熵，该方法递归地使用切比雪夫多项式逼近fα(x) = x^α，并对所得查询电路应用samplizer。
• 时间复杂度由原始算法中的查询次数以及samplizer引入的开销决定，δ-近似模拟的开销为Õ(Q²/δ)。
• 该框架通过在samplizer流水线中利用稀疏访问和低秩近似技术，自然扩展至低秩量子态。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以实现时间复杂度与样本复杂度线性匹配的量子熵估计，以匹配经典性能？
• RQ2 在量子熵估计中，样本复杂度与时间复杂度之间的最优权衡是什么？
• RQ3 能否构建一种通用变换，将任意量子查询算法转换为具有有界误差的基于样本的算法？
• RQ4 与基于弱Schur采样和Young图的方法相比，samplizer框架在效率和准确性上如何？
• RQ5 估计冯·诺伊曼熵与Rényi熵的根本样本复杂度下界是什么？

主要发现

• 所提出的冯·诺伊曼熵量子估计器实现了Õ(N²)的时间复杂度，相较于先前最优的Õ(N¶)实现了指数级改进。
• 对于Rényi熵，当0 < α < 1时时间复杂度为Õ(N^{4/\alpha - 2})，当α > 1时为Õ(N^{4 - 2/\alpha})，显著优于先前最优的Õ(N^{6/\alpha})和Õ(N¶)。
• 证明了samplizer变换在多对数因子范围内是最优的，需Õ(Q²/δ)个样本才能以钻石范数δ精度模拟Q次查询算法。
• 该方法实现了接近最优的样本复杂度，样本使用量相比先前工作略有增加，但实现了时间复杂度的大幅降低。
• 建立了紧致的样本复杂度下界：Rényi熵为Ω(max{N/ε, N^{1/\alpha - 1}/ε^{1/\alpha}})，确认了所提方法的高效性。
• 该框架自然可扩展至低秩量子态，通过在samplizer流水线中利用稀疏访问和低秩近似技术，保持了时间与样本效率。