[论文解读] Time Flies When Looking out of the Window: Timed Games with Window Parity Objectives

James C. A. Main, Mickaël Randour+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文为时序自动机和时序博弈引入了时序窗口parity目标，将窗口机制扩展至稠密时间系统。证明了验证满足此类目标的时间发散路径问题是PSPACE-完全的，而求解具有此类目标的时序博弈问题是EXPTIME-完全的——与经典时序parity博弈的复杂度一致，同时增加了时间有界响应能力。该方法通过扩展自动机中的优先级与标志位追踪，采用基于区域的约化，将问题转化为安全/ co-Büchi目标。

ABSTRACT

The window mechanism was introduced by Chatterjee et al. to reinforce mean-payoff and total-payoff objectives with time bounds in two-player turn-based games on graphs. It has since proved useful in a variety of settings, including parity objectives in games and both mean-payoff and parity objectives in Markov decision processes. We study window parity objectives in timed automata and timed games: given a bound on the window size, a path satisfies such an objective if, in all states along the path, we see a sufficiently small window in which the smallest priority is even. We show that checking that all time-divergent paths of a timed automaton satisfy such a window parity objective can be done in polynomial space, and that the corresponding timed games can be solved in exponential time. This matches the complexity class of timed parity games, while adding the ability to reason about time bounds. We also consider multi-dimensional objectives and show that the complexity class does not increase. To the best of our knowledge, this is the first study of the window mechanism in a real-time setting.

研究动机与目标

• 通过在稠密时间模型中引入窗口机制，弥补经典时序parity博弈中缺乏时间有界响应的问题。
• 实现对实时系统的形式化验证，其中对请求（奇优先级）的及时响应必须在有界时间窗口内完成。
• 将离散窗口机制扩展至时序自动机与时序博弈，保持复杂度不变的同时增加时间约束。
• 提供一种复杂度鲁棒的替代方案，避免经典时序parity博弈中因优先级数量与区域抽象规模增加而导致的爆炸性增长。
• 将结果推广至多维目标，且不增加计算复杂度。

提出的方法

• 引入（直接与前缀无关的）时序窗口parity目标，要求在所有时刻，大小不超过λ的窗口中均包含一个作为最小优先级的偶数优先级。
• 通过在位置中扩展一个布尔标志位（表示是否已检测到请求，即奇优先级），构造扩展的时序自动机A′。
• 使用额外时钟追踪窗口大小，并通过优先级函数标记窗口中最小优先级为偶数的位置。
• 将时序窗口parity目标约化为在扩展自动机A′上的安全目标（直接情形）或co-Büchi目标（前缀无关情形）。
• 利用区域抽象处理时序自动机的不可数状态空间，实现有限状态分析。
• 证明满足窗口目标的时间发散路径恰好对应于A′中避开特定位置（如标志位为1的位置）的路径，从而将问题约化为标准验证问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 验证时序自动机中所有时间发散路径是否满足时序窗口parity目标的复杂度是多少？
• RQ2 求解具有时序窗口parity目标的时序博弈的复杂度与经典时序parity博弈相比如何？
• RQ3 能否在不增加复杂度类的前提下，将窗口机制扩展至实时系统？
• RQ4 时序窗口parity目标的多维扩展是否保持相同的复杂度界？
• RQ5 能否通过区域抽象与有限状态约化，在时序自动机中高效编码窗口机制？

主要发现

• 时序自动机中时序窗口parity目标的验证问题是PSPACE-完全的，与经典时序parity博弈的复杂度一致。
• 具有时序窗口parity目标的时序博弈可实现性问题是EXPTIME-完全的，再次与经典时序parity博弈的复杂度匹配。
• 多维窗口parity目标（即多个目标的合取）并未增加复杂度类，与单维情况保持一致。
• 窗口机制可通过原时序自动机的多项式大小扩展实现，扩展后的状态数与边数均为原来的两倍。
• 满足时序窗口目标的时间发散路径恰好对应于扩展自动机中避开标记有“未解决请求”标志的位置的路径。
• 将问题约化为扩展自动机上的安全与co-Büchi目标，保持了时间发散性，并可通过区域抽象实现高效的模型检测。