[论文解读] Time-Fractional Allen-Cahn Equations: Analysis and Numerical Methods

Qiang Du, Jiang Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 43被引用 8

一句话总结

本文研究了具有阶数 $\alpha \in (0,1)$ 的 Caputo 分数阶导数的时间分数阶 Allen-Cahn 方程，建立了适定性、最大值原理，并为无条件稳定的时间推进格式证明了最优的 $O(\tau^\alpha)$ 收敛速率。该文证明了离散能量耗散，并利用最大 $L^p$ 正则性与分数阶 Grönwall 不等式，在无需额外正则性假设的条件下实现了收敛性。

ABSTRACT

In this work, we consider a time-fractional Allen-Cahn equation, where the conventional first order time derivative is replaced by a Caputo fractional derivative with order $α\in(0,1)$. First, the well-posedness and (limited) smoothing property are systematically analyzed, by using the maximal $L^p$ regularity of fractional evolution equations and the fractional Grönwall's inequality. We also show the maximum principle like their conventional local-in-time counterpart. Precisely, the time-fractional equation preserves the property that the solution only takes value between the wells of the double-well potential when the initial data does the same. Second, after discretizing the fractional derivative by backward Euler convolution quadrature, we develop several unconditionally solvable and stable time stepping schemes, i.e., convex splitting scheme, weighted convex splitting scheme and linear weighted stabilized scheme. Meanwhile, we study the discrete energy dissipation property (in a weighted average sense), which is important for gradient flow type models, for the two weighted schemes. Finally, by using a discrete version of fractional Grönwall's inequality and maximal $\ell^p$ regularity, we prove that the convergence rates of those time-stepping schemes are $O(τ^α)$ without any extra regularity assumption on the solution. We also present extensive numerical results to support our theoretical findings and to offer new insight on the time-fractional Allen-Cahn dynamics.

研究动机与目标

• 建立具有 Caputo 分数阶导数的时间分数阶 Allen-Cahn 方程的适定性与解正则性。
• 证明当初始数据满足相同条件时，最大值原理可保持解位于双势阱势能范围内。
• 为该方程构造无条件稳定且可解的时间推进格式。
• 分析其中两种格式在加权平均意义下的离散能量耗散特性。
• 在不假设解具有额外正则性的前提下，推导出 $O(\tau^\alpha)$ 的精确收敛速率。

提出的方法

• 利用分数阶演化方程的最大 $L^p$ 正则性理论分析解的正则性。
• 应用分数阶 Grönwall 不等式控制解的行为并推导误差估计。
• 采用向后欧拉卷积求积法对 Caputo 分数阶导数进行离散化。
• 提出三种时间推进格式：凸分割法、加权凸分割法与线性加权稳定格式。
• 利用离散形式的分数阶 Grönwall 不等式与最大 $\ell^p$ 正则性证明收敛性。
• 通过广泛的数值实验验证理论结果，涵盖相分离与粗化动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间分数阶 Allen-Cahn 方程是否保持最大值原理，即若初始数据位于势阱范围内，解是否在所有时间均保持在此范围内？
• RQ2 对于 $\alpha \in (0,1)$ 的时间分数阶 Allen-Cahn 方程，其解的正则性与适定性如何？
• RQ3 能否为这种非局部时间模型构造无条件稳定且可解的时间推进格式？
• RQ4 所提出的格式是否在加权平均意义下保持离散能量耗散？
• RQ5 时间推进格式的收敛速率是多少？是否可在不假设解具有额外正则性的条件下证明该收敛速率？

主要发现

• 时间分数阶 Allen-Cahn 方程满足最大值原理：若初始数据位于双势阱势能范围内，则解在所有时间也保持在此范围内。
• 解表现出有限的光滑性与适定性，通过最大 $L^p$ 正则性与分数阶 Grönwall 不等式得以建立。
• 所提出的三种时间推进格式——凸分割法、加权凸分割法与线性加权稳定格式——均为无条件可解且稳定的。
• 加权凸分割法与线性加权稳定格式在加权平均意义下保持离散能量耗散。
• 所有格式均在不假设解具有额外正则性的前提下，证明了最优的 $O(\tau^\alpha)$ 收敛速率。
• 数值结果表明，较小的 $\alpha$ 值会减缓粗化阶段并改变动力学行为，能量演化遵循分数阶能量耗散律 $\bar{\partial}^{\alpha}_{\tau}E(u_n) \leq 0$。