[论文解读] Time in quantum gravity by weakening the Hamiltonian constraint

Hrvoje Nikolić|ArXiv.org|Dec 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过用较弱的条件 ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = 0 替代标准的惠勒-德维特约束  Ĥ|ψ⟩ = 0，提出了解决量子引力中时间问题的方案，使得波函数可通过泛函薛定谔方程实现时间演化。关键结果是该方法在保持正确经典极限的同时，构建了一个一致的量子理论：波函数的相位保持时间不变，但概率密度可随时间演化，从而在不引入额外物质场的前提下解决了时间问题。

ABSTRACT

We replace the usual Hamiltonian constraint of quantum gravity H|psi>=0 by a weaker one =0. This allows |psi> to satisfy the time-dependent functional Schrodinger equation. In general, only the phase of the wave function appears to be time independent. The resulting quantum theory has the correct classical limit and thus provides a viable theory of quantum gravity that solves the problem of time without introducing additional nongravitational degrees of freedom.

研究动机与目标

• 解决量子引力中的时间问题，即标准惠勒-德维特方程暗示波函数与时间无关，与经典时间演化不一致。
• 尽管允许量子态具有时间依赖性，仍需在半经典极限下与经典哈密顿约束 H=0 保持一致。
• 避免在量子理论中引入额外的非引力自由度或破坏广义协变性。
• 表明幺正时间演化对哈密顿约束中的算符排序施加了限制，部分解决了算符排序问题。
• 探讨玻姆诠释在恢复量子理论中广义协变性方面的作用。

提出的方法

• 将标准的惠勒-德维特约束  Ĥ|ψ⟩ = 0 替换为较弱的条件 ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = 0，确保哈密顿算符的期望值为零。
• 将波函数表示为 ψ(g,t) = R(g,t) e^{iS(g)/ħ}，其中 S 与时间无关，通过 R(g,t) 实现时间演化。
• 从 R 的时间依赖演化推导出泛函薛定谔方程，得到一个关于 R² 的实数方程，确保概率守恒。
• 使用 WKB 假设 ψ = R e^{iS/ħ}，将复数薛定谔方程分解为关于 S 的实数型哈密顿-雅可比方程和关于 R² 的连续性方程。
• 通过  Ĥ = -ħ² [G_{AB}∂^A∂^B + c G_{AB}^{,A} ∂^B] + V 引入哈密顿算符的一般排序类，其中 c = b/(a+b)，以研究其对幺正性和经典极限的影响。
• 证明在玻姆假设 π^A = S^{,A} 下，R² 的连续性方程可重写为协变形式 dρ/dx^μ = 0，将非协变的动力学与协变的守恒律联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个可行的量子引力理论，使波函数具有时间演化，同时在半经典极限下保持经典哈密顿约束？
• RQ2 将  Ĥ|ψ⟩ = 0 替换为 ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = 0 是否能实现一致的时间演化，而无需引入外部时间或物质？
• RQ3 幺正时间演化对哈密顿约束中算符排序施加了何种限制？
• RQ4 玻姆诠释能否用于恢复一个原本破坏时空协变性的量子引力理论中的广义协变性？
• RQ5 时间无关的相位 S(g) 在决定概率密度 R²(g,t) 的动力学中起什么作用？

主要发现

• 波函数可通过 R(g,t) 实现时间依赖，而相位 S(g) 保持时间不变，使得经典极限能恢复时间依赖的度规演化。
• 条件 ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ = 0 确保了在半经典区域与经典约束 H=0 的一致性。
• 幺正时间演化对算符排序施加了限制，具体而言要求 c = b/(a+b)，以确保 R² 的连续性方程与概率守恒一致。
• 在玻姆假设 π^A = S^{,A} 下，R² 的连续性方程可重写为协变形式 dρ/dx^μ = 0，表明德布罗意-玻姆诠释在量子引力中可能具有更深层的作用。
• R² 的非协变时间演化被玻姆图像中隐变量的非协变动力学所补偿，从而得到整体协变的描述。
• 该方法成功解决了纯引力中的时间问题，而无需引入额外物质场或在有效描述中破坏广义协变性。