[论文解读] Time irregularity of generalized Ornstein--Uhlenbeck processes

Zdzisław Brzeźniak, Beniamin Gołdys+4 more|ArXiv.org|Nov 12, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文研究了希尔伯特空间中由圆柱形Lévy过程驱动的广义Ornstein–Uhlenbeck过程的时间正则性。研究证明，即使Lévy噪声在状态空间H中具有跳跃，若噪声系数βₙ不趋于零，解X(t)仍可能不存在càdlàg修正，从而解决了关于跳跃支撑条件对正则性必要性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

The paper is concerned with the properties of solutions to linear evolution equation perturbed by cylindrical Lévy processes. It turns out that solutions, under rather weak requirements, do not have càdlàg modification. Some natural open questions are also stated.

研究动机与目标

• 确定带有圆柱形Lévy噪声的线性SPDE解在状态空间H中具有càdlàg修正的条件。
• 挑战Lévy噪声在H中具有跳跃即保证càdlàg解的猜想。
• 分析带有α稳定噪声的随机热方程和Burgers方程解的时间不规则性。
• 阐明噪声系数衰减（βₙ → 0）和定义域条件（eₙ ∈ D(A*))在路径正则性中的作用。

提出的方法

• 分析随机卷积X(t) = ∫₀ᵗ S(t−s) dL(s)，其中S(t)为C₀半群，L为圆柱形Lévy过程。
• 采用谱表示L(t) = ∑ₙ βₙLⁿ(t)eₙ，其中Lⁿ为独立同分布的càdlàg Lévy过程，(eₙ)为H中的标准正交基。
• 应用巴拿赫空间中左/右极限的柯西准则变体以评估路径正则性。
• 利用第二Borel–Cantelli引理证明：当跳跃强度为正时，Lⁿ的跳跃时间在(0,∞)中稠密。
• 考虑在L²(0,π)上带有α稳定噪声的随机热方程，利用外推空间H₆分析正则性。
• 应用随机卷积的最大不等式及希尔伯特空间中连续性已知准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 当跳跃属于状态空间H时，SPDE中Lévy噪声解的càdlàg修正缺失是否仍持续存在？
• RQ2 噪声系数βₙ趋于零是否为解X(t)存在H-càdlàg修正的必要条件？
• RQ3 假设eₙ ∈ D(A*)是否对X(t)的非càdlàg行为至关重要？
• RQ4 Lévy过程L在H中演化是否为X(t)存在H-càdlàg修正的必要条件？
• RQ5 对于带有α稳定噪声的随机热方程，X(t)在δ ∈ [−1/α, 0)时是否为H₆-càdlàg？

主要发现

• 若βₙ不收敛于零，则以概率1，X(t)在任意t > 0处在H中均无左极限或右极限。
• 在所述条件下，即使L的跳跃属于H，解X(t)也不存在H-càdlàg修正。
• 对于带有α稳定噪声的随机热方程，X(t)为H₆值当且仅当δ < 1/α。
• L(t)为H₆-càdlàg当且仅当δ < −1/α，此时X(t)亦为H₆-càdlàg。
• 当δ ≥ 0时，X(t)不存在H₆-càdlàg修正，如定理2.1所示。
• 高斯情形（α=2）表现不同：X(t)为H₆-càdlàg当且仅当δ < 1/2，但对α ∈ (0,2)，不存在此类类比。