[论文解读] Time Irreversibility Problem and Functional Formulation of Classical Mechanics

И. В. Волович|ArXiv.org|Jul 15, 2009

advanced mathematical theories参考文献 47被引用 25

一句话总结

本文提出了一种经典力学的功能性表述，通过单粒子分布函数的李维利尔方程将不可逆性内置于基本动力学中，取代基于牛顿轨迹的方法。与传统力学不同，该框架通过分布的非定域化自然表现出时间不可逆性，而牛顿方程仅在短时间尺度上作为平均可观测量的近似出现，从而在微观层面解决了长期存在的时间不可逆性问题。

ABSTRACT

The time irreversibility problem is the dichotomy of the reversible microscopic dynamics and the irreversible macroscopic physics. This problem was considered by Boltzmann, Poincaré, Bogolyubov and many other authors and though some researchers claim that the problem is solved, it deserves a further study. In this paper an attempt is performed of the following solution of the irreversibility problem: a formulation of microscopic dynamics is suggested which is irreversible in time. A widely used notion of microscopic state of the system at a given moment of time as a point in the phase space and also a notion of trajectory does not have an immediate physical meaning since arbitrary real numbers are non observable. In the approach presented in this paper the physical meaning is attributed not to an individual trajectory but only to a bunch of trajectories or to the distribution function on the phase space. The fundamental equation of the microscopic dynamics in the proposed "functional" approach is not the Newton equation but the Liouville equation for the distribution function of a single particle. Solutions of the Liouville equation have the property of delocalization which accounts for irreversibility. It is shown that the Newton equation in this approach appears as an approximate equation describing the dynamics of the average values of the position and momenta. Corrections to the Newton equation are computed.

研究动机与目标

• 通过重新定义经典力学的基础，解决时间不可逆性问题——即微观定律具有时间对称性，但宏观行为却表现出不可逆性。
• 挑战传统观点，即微观动力学必须是可逆的，提出一种不可逆性为基本属性而非涌现属性的表述。
• 用相空间上的分布函数取代点粒子轨迹和牛顿运动方程，作为物理实体。
• 表明描述分布函数演化的李维利尔方程自然导致非定域化和不可逆行为。

提出的方法

• 不通过相空间中单个轨迹来表述微观动力学，而是通过相空间上概率分布函数 ρ(q,p,t) 的演化。
• 将李维利尔方程 ∂ρ/∂t = - (p/m) ∂ρ/∂q 作为基本运动方程，取代牛顿方程。
• 应用反射法求解一维盒中具有反射壁的粒子的李维利尔方程。
• 利用黎曼-勒贝格引理，证明对动量积分中振荡函数（如 e^{itp}）的积分在长时间极限下趋于零，从而导致不可逆弛豫。
• 分析分布函数的长时间渐近行为，表明其收敛于均匀分布和麦克斯韦型分布。
• 通过计算分布函数一阶矩（位置和动量）的时间演化，推导出对牛顿方程的修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 时间不可逆性能否作为微观动力学的基本属性而非统计假设的产物被内嵌？
• RQ2 尽管形式上时间对称，李维利尔方程如何导致单粒子分布函数的不可逆行为？
• RQ3 在此功能性表述中，牛顿运动方程与李维利尔方程之间存在何种关系？
• RQ4 在不引入概率假设或外部粗粒化的情况下，分布函数的长时间极限能否表现出弛豫至平衡态的行为？
• RQ5 从功能性表述中产生的牛顿方程的修正项是什么？它们如何影响平均可观测量的动力学？

主要发现

• 李维利尔方程的解在相空间中表现出非定域化，这解释了不可逆性的出现，而无需依赖外部假设或粗粒化。
• 坐标分布 ρ_c(q,t) 的长时间极限点态收敛于均匀分布：ρ_c(q,∞) = 1，表明弛豫至平衡态。
• 绝对动量分布 ρ_a(p,t) 的长时间极限收敛至麦克斯韦型分布：lim_{t→∞} ρ_a(p,t) = (1/√π b)[e^{-(p−p₀)²/b²} + e^{-(p+p₀)²/b²}]。
• 牛顿运动方程作为短时间区间内平均位置和动量时间演化的近似方程出现。
• 在此框架中，李维利尔方程被证明是基本运动方程，而牛顿力学仅为极限情况。
• 显式计算了对牛顿方程的修正项，表明由于分布函数演化的非局部性，其与经典轨迹存在偏离。