[论文解读] Time-Limited Toeplitz Operators on Abelian Groups: Applications in Information Theory and Subspace Approximation

Zhihui Zhu, Michael B. Wakin|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 80被引用 3

一句话总结

本文通过傅里叶分析，提出了一种在局部紧阿贝尔群上对时域受限的托普利茨算子进行统一框架分析的方法，建立了时域受限算子与无限时域算子谱之间的联系。研究推导了时频限制算子的特征值收敛结果，并将其应用于信息论与子空间逼近问题，表明有限维近似下的特征值随着维数增加而收敛至频率响应。

ABSTRACT

Toeplitz operators are fundamental and ubiquitous in signal processing and information theory as models for linear, time-invariant (LTI) systems. Due to the fact that any practical system can access only signals of finite duration, time-limited restrictions of Toeplitz operators are naturally of interest. To provide a unifying treatment of such systems working on different signal domains, we consider time-limited Toeplitz operators on locally compact abelian groups with the aid of the Fourier transform on these groups. In particular, we survey existing results concerning the relationship between the spectrum of a time-limited Toeplitz operator and the spectrum of the corresponding non-time-limited Toeplitz operator. We also develop new results specifically concerning the eigenvalues of time-frequency limiting operators on locally compact abelian groups. Applications of our unifying treatment are discussed in relation to channel capacity and in relation to representation and approximation of signals.

研究动机与目标

• 通过调和分析，建立在局部紧阿贝尔群上时域受限托普利茨算子的统一数学框架。
• 研究时域受限与非时域受限托普利茨算子之间的谱关系，特别是特征值的收敛性。
• 将该框架应用于信息论中的实际问题，如信道容量，以及信号表示与逼近问题。
• 分析阿贝尔群上时频限制算子的特征值分布，并建立其收敛至频率响应的理论。

提出的方法

• 利用局部紧阿贝尔群上的傅里叶变换分析时域受限托普利茨算子。
• 应用紧算子的谱定理，研究时域受限算子的离散谱。
• 通过将时域受限算子与核函数为 $ K_{\mathbb{B}}(h^{-1} \circ g) $ 的紧积分算子关联，推导出特征值收敛结果。
• 利用Karhunen-Loève变换分析随机相位信号，并推导子空间逼近的均方误差界。
• 采用到 $ n $ 维子空间的正交投影算子 $ \mathrm{P}_{\mathbb{M}_n} $ 以最小化逼近误差。
• 证明：最小化逼近误差的最优 $ n $ 维子空间由时频限制算子的前 $ n $ 个特征函数张成。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔群上时域受限托普利茨算子的特征值如何收敛至对应无限时域系统的频率响应？
• RQ2 时域受限托普利茨算子的谱与原始非时域受限算子的谱之间存在何种关系？
• RQ3 如何表征阿贝尔群上时频限制算子的特征值分布，并用于信号逼近？
• RQ4 在时频限制设定下，逼近信号的最优 $ n $ 维子空间是什么？其对应的逼近误差是多少？
• RQ5 通过Karhunen-Loève变换使用随机相位信号，如何帮助推导子空间逼近误差的界？

主要发现

• 时域受限托普利茨算子 $ \mathcal{H}_T $ 的特征值随着 $ T \to \infty $ 收敛至频率响应 $ \widehat{h}(F) $，收敛意义为谱逼近。
• 对于离散时间系统，$ N \times N $ 托普利茨矩阵 $ \boldsymbol{H}_N $ 的特征值随着 $ N \to \infty $ 收敛至频率响应 $ \widehat{h}(f) $。
• 在时频限制下，最小化逼近误差的最优 $ n $ 维子空间由算子 $ \mathcal{O}_{\mathbb{A}_\tau,\mathbb{B}} $ 的前 $ n $ 个特征函数张成，对应于最大的特征值。
• 最优子空间的均方逼近误差为 $ \sum_{\ell \geq n} \lambda_\ell = |\mathbb{A}_\tau||\mathbb{B}| - \sum_{\ell=0}^{n-1} \lambda_\ell $，其中 $ \lambda_\ell $ 为时频限制算子的特征值。
• 使用随机相位信号进行Karhunen-Loève逼近的期望平方误差为 $ \frac{1}{|\mathbb{B}|} \sum_{\ell \geq n} \lambda_\ell(\mathcal{O}_{\mathbb{A}_\tau,\mathbb{B}}) = |\mathbb{B}| - \sum_{\ell=0}^{n-1} \lambda_\ell(\mathcal{O}_{\mathbb{A}_\tau,\mathbb{B}}) $，与理论界一致。
• 随机信号 $ r(g) = \chi_\xi(g)e^{j\nu} $ 的总能量为 $ \mathbb{E}[\|r\|_{L_2}^2] = |\mathbb{A}_\tau| $，与逼近框架中的信号能量一致。