[论文解读] Time optimal control problems for some non-smooth systems

Hongwei Lou, Junjie Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文针对向量场在目标集附近无界、具有奇异动力学的非光滑系统，建立了时间最优控制的庞特里亚金最大值原理。通过构造辅助系统并利用广义控制，作者证明了至少存在一个最优广义控制满足最大值原理，从而在最优爆破或淬灭时间控制等问题中提供了最优性必要条件。

ABSTRACT

Time optimal control problems for some non-smooth systems in general form are considered. The non-smoothness is caused by singularity. It is proved that Pontryagin's maximum principle holds for at least one optimal relaxed control. Thus, Pontryagin's maximum principle holds when the optimal classical control is a unique optimal relaxed control. By constructing an auxiliary controlled system which admits the original optimal classical control as its unique optimal relaxed control, one get a chance to get Pontryagin's maximum principle for the original optimal classical control. Existence results are also considered.

研究动机与目标

• 解决向量场在目标集附近无界时的非光滑系统时间最优控制问题。
• 在缺乏光滑性的情况下，为这类系统建立必要最优性条件，特别是庞特里亚金最大值原理。
• 在系统动力学和控制集的一般假设下，证明最优控制的存在性。
• 证明最大值原理至少对一个最优广义控制成立，即使经典最优控制存在。
• 在单调性与结构假设下，通过构造辅助系统，将最大值原理扩展至经典最优控制。

提出的方法

• 为具有奇异动力学的系统引入广义时间最优控制问题，其中向量场在局部有界，但其导数在接近目标集时趋于无界。
• 通过极限条件 $\mathop{\underline{\rm lim}}_{s\to T^{-}} d(y(s),Q) = 0$ 定义可行与容许三元组，允许解趋近目标但未必精确达到。
• 构造一个具有修正动力学的辅助控制系统，引入扰动项 $-h(t)\chi_{[s,\infty)}(t)y(t)$ 以正则化爆破行为。
• 利用广义控制处理非光滑性，通过定理 2.6 证明最大值原理至少对一个最优广义控制成立。
• 通过光滑且可逆的映射 $G$ 进行变量变换，将原系统转化为满足标准假设 (S1)–(S4) 的新系统，从而可应用已知的最大值原理结果。
• 推导伴随方程，并验证几乎处处在 $[0,\bar{t})$ 上成立的最大条件 $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$，且满足 $\bar{\psi}(t) \to 0$ 当 $t \to \bar{t}^{-}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，庞特里亚金最大值原理适用于具有奇异动力学的非光滑系统的时间最优控制问题？
• RQ2 当系统表现出爆破或淬灭行为时，能否为经典最优控制建立最大值原理？
• RQ3 如何构造辅助系统以恢复原非光滑系统最大值原理的成立？
• RQ4 系统单调性在将最大值原理从广义控制扩展到经典控制中起什么作用？
• RQ5 在何种意义上，爆破或淬灭时间的最优控制问题可转化为具有奇异动力学的标准时间最优控制问题？

主要发现

• 在具有奇异动力学的非光滑系统的时间最优控制问题中，庞特里亚金最大值原理至少对一个最优广义控制成立。
• 通过变量变换与正则化构造的辅助系统，证明了最优经典控制是该辅助系统唯一的最优广义控制。
• 伴随向量 $\bar{\psi}(t)$ 满足 $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} \bar{\psi}(t) = 0$，这是最优性条件的关键结构特征。
• 最大条件 $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$ 几乎处处在 $[0,\bar{t})$ 上成立。
• 在标准假设 (S1)–(S4) 下，包括 $f$ 的局部有界性与模连续性，建立了最优控制的存在性。
• 状态轨迹的爆破行为由 $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} |\bar{y}(t)| = +\infty$ 描述，这意味着 $\int_0^{\bar{t}} |\bar{y}(\tau)|^{p-1} d\tau = +\infty$。