[论文解读] Time-optimal control with direct collocation and variable discretization

Christoph Rösmann, Artemi Makarow+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于可变离散化和Hermite-Simpson配点法的时最优控制框架，其中时间区间与控制轨迹一并优化。结果表明，线性或常数控制参数化优于二次样条，可避免约束违规和振荡，从而为刚性系统提供鲁棒且精确的解，并提升实时适用性。

ABSTRACT

This paper deals with time-optimal control of nonlinear continuous-time systems based on direct collocation. The underlying discretization grid is variable in time, as the time intervals are subject to optimization. This technique differs from approaches that are usually based on a time transformation. Hermite-Simpson collocation is selected as common representative in the field of optimal control and trajectory optimization. Hereby, quadratic splines approximate the system dynamics. Several splines of different order are suitable for the control parameterization. A comparative analysis reveals that increasing the degrees of freedom in control, e.g. quadratic splines, is not suitable for time-optimal control problems due to constraint violation and inherent oscillations. However, choosing constant or linear control splines points out to be very effective. A major advantage is that the implicit solution of the system dynamics is suited for stiff systems and often requires smaller grid sizes in practice.

研究动机与目标

• 开发一种用于非线性连续时间系统时最优控制的直接配点方法，采用可变时间离散化。
• 研究不同控制参数化方式（线性、二次、常数）对约束满足性和解精度的影响。
• 通过确保刚性系统的数值稳定性和收敛性，实现实时与预测控制应用。
• 比较配点法（Hermite-Simpson法、有限差分法）与多次 shooting 方法在动力学精度和约束处理方面的表现。
• 在基准系统（包括Van der Pol振子）上验证该方法，考虑实际的控制与状态约束。

提出的方法

• 采用Hermite-Simpson积分规则的直接配点法，利用分段多项式样条近似状态与控制轨迹。
• 通过优化配点间的时间区间引入可变时间离散化，使最终时间成为决策变量。
• 在Hermite-Simpson配点法中使用二次样条进行控制参数化，以实现高精度的轨迹近似。
• 通过超图表示实现稀疏有限差分雅可比与海塞矩阵计算，以利用稀疏性并提升求解器效率。
• 在模型预测控制中实施网格自适应方案，迭代减少预测时域长度，确保前向不变性与收敛性。
• 使用IPOPT求解器与HSL-MA57作为线性求解器，利用稀疏性实现计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制参数化方式（线性、二次、常数）的选择如何影响时最优控制问题中的约束满足性与解质量？
• RQ2 通过优化时间区间实现的可变离散化是否相比固定网格或时间变换方法能提升收敛性与精度？
• RQ3 在直接配点法中，使用高阶控制样条时，解精度与约束违规之间的权衡如何？
• RQ4 Hermite-Simpson法与有限差分法在刚性系统中动力学精度与鲁棒性方面有何差异？
• RQ5 该方法在保证稳定性与约束合规的前提下，能在多大程度上支持实时或预测控制应用？

主要发现

• 在Hermite-Simpson配点法中，二次控制样条实现了最高的动力学精度，但常因配点处的插值导致控制边界频繁违规。
• 线性和常数控制参数化方式虽逼近阶次较低，但能提供更可靠的解，约束违规更少，振荡更小。
• 由于动力学的隐式积分，该方法能有效处理刚性系统，实际中所需网格尺寸小于显式方法。
• 前向差分配点法的动力学误差最大，证实其一阶精度及在高精度任务中的不稳定性。
• 网格自适应方案确保了前向不变性与收敛性，使预测时域长度减少，从而实现稳定的模型预测控制。
• Hermite-Simpson配点法结合线性控制样条在精度、约束合规性与计算效率之间实现了最佳平衡，适用于实时应用。