[论文解读] Time-optimal control with finite bandwidth

Masashi Hirose, Paola Cappellaro|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出傅里叶近似时间最优（FATO）控制方法，在有限控制带宽下实现量子比特的时间最优量子门操作，通过理想bang-bang控制协议的傅里叶级数近似实现。该方法从理论上将控制带宽限制与门保真度关联起来，表明即使在旋转波近似失效的情况下，FATO 仍能实现高保真、时间最优的控制，且保真度损失与傅里叶截断误差呈可预测的规律性关系。

ABSTRACT

Optimal control theory provides recipes to achieve quantum operations with high fidelity and speed, as required in quantum technologies such as quantum sensing and computation. While technical advances have achieved the ultrastrong driving regime in many physical systems, these capabilities have yet to be fully exploited for the precise control of quantum systems, as other limitations, such as the generation of higher harmonics or the finite bandwidth of the control fields, prevent the implementation of theoretical time-optimal control. Here we present a method to achieve time-optimal control of qubit systems that can take advantage of fast driving beyond the rotating wave approximation. We exploit results from optimal control theory to design driving protocols that can be implemented with realistic, finite-bandwidth control and we find a relationship between bandwidth limitations and achievable control fidelity.

研究动机与目标

• 解决由于量子系统中控制带宽有限，导致理论时间最优控制与实际实现之间存在差距的问题。
• 开发一种实用的控制协议，在控制场带宽和幅度受限时，实现量子比特的时间最优门操作。
• 量化在旋转波近似失效的超强驱动区域中，门保真度与控制带宽之间的权衡关系。
• 提供一个解析框架，将傅里叶级数截断与控制保真度损失关联，从而实现高保真控制序列的设计。

提出的方法

• FATO 方法使用截断傅里叶级数近似理想 bang-bang（BB）控制协议，确保控制场保持实数且幅度有界。
• 将控制场建模为有限带宽 $[0, riangle heta]$ 内正弦分量的和，其系数由理想 BB 函数的傅里叶展开得出。
• 采用切换框架变换分析截断引起的误差传播算符，从而实现对有效哈密顿量的解析处理。
• 对误差哈密顿量应用一阶 Magnus 展开，推导出门保真度损失的解析表达式，其形式取决于傅里叶近似的均方误差。
• 通过误差传播算符的迹计算保真度，从而得到保真度损失的闭式表达式，其依赖于傅里叶截断误差和系统参数。
• 通过将误差哈密顿量和保真度计算推广至多量子比特动力学，将该方法扩展至两量子比特控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当控制场受限于有限带宽时，如何在量子比特系统中实现时间最优控制？
• RQ2 在时间最优控制协议中，控制带宽与可实现门保真度之间的定量关系是什么？
• RQ3 在实际硬件约束下，对理想 bang-bang 控制进行傅里叶级数近似是否能保持高保真度？
• RQ4 随着控制场中傅里叶级数截断程度的增加，时间最优控制的保真度如何退化？
• RQ5 FATO 方法在有限带宽控制下，能在多量子比特系统中多大程度上实现泛化？

主要发现

• FATO 方法实现了时间最优控制，其门保真度与傅里叶级数截断的均方误差成反比，保真度损失可被解析量化。
• 在弱驱动区域，保真度表达式为 $ F = \cos\left(\frac{\pi}{2}\tan(\theta)\mathcal{E}_{K}\right) $，其中 $ \mathcal{E}_{K} $ 为截断傅里叶级数的均方误差。
• 在超强驱动区域，X 和 Y 旋转的保真度近似为 $ F_{s}^{x} \approx \cos\left[\frac{2}{\pi}\sin(\theta)\mathcal{E}_{K}\right] $ 和 $ F_{s}^{y} \approx \cos\left[\frac{2}{\pi}\tan(\theta)\mathcal{E}_{K}\right] $，分别对应。
• 该方法即使在有限带宽约束下，也能实现等于理论时间最优极限的门时间，其速度优于传统的共振驱动。
• FATO 协议对控制场误差具有鲁棒性，且仅需最小修改即可扩展至多量子比特系统。
• 本研究确立了控制带宽作为量子控制中速度与保真度权衡下的基本限制性资源。