[论文解读] Time Optimal Synthesis for Left--Invariant Control Systems on SO(3)

Ugo Boscain, Yacine Chitour|ArXiv.org|Feb 23, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过霍普夫纤维丛将 SO(3) 上左不变控制系统的时最优轨迹中最大切换次数建立紧致界，利用在 ℝP² 上的投影控制问题，证明了切换次数 $ N(\alpha) $ 满足 $ N_S(\alpha) \leq N(\alpha) \leq N_S(\alpha) + 4 $，其中当 $ \alpha \to 0 $ 时 $ N_S(\alpha) \sim \pi/(4\alpha) $，从而解决了非线性系统中控制权重较小时富勒现象理解中的关键空白。

ABSTRACT

Consider the control system given by $\dot x=x(f+ug)$, where $x\in SO(3)$, $|u|\leq 1$ and $f,g\in so(3)$ define two perpendicular left-invariant vector fields normalized so that $\|f\|=\cos(\al)$ and $\|g\|=\sin(\al)$, $\al\in ]0,π/4[$. In this paper, we provide an upper bound and a lower bound for $N(α)$, the maximum number of switchings for time-optimal trajectories. More precisely, we show that $N_S(\al)\leq N(\al)\leq N_S(\al)+4$, where $N_S(\al)$ is a suitable integer function of $\al$ which for $\al o 0$ is of order $π/(4α).$ The result is obtained by studying the time optimal synthesis of a projected control problem on $R P^2$, where the projection is defined by an appropriate Hopf fibration. Finally, we study the projected control problem on the unit sphere $S^2$. It exhibits interesting features which will be partly rigorously derived and partially described by numerical simulations.

研究动机与目标

• 确定 SO(3) 上左不变控制系统在控制权重较小时，时最优轨迹中最大切换次数 $ N(\alpha) $。
• 解析当 $ \alpha \to 0 $ 时 $ N(\alpha) $ 的渐近行为，特别是其是否发散或保持有界。
• 为 $ N(\alpha) $ 建立下界与上界，改进基于指标理论的先前估计。
• 分析在 $ \mathbb{R}P^2 $ 和球面 $ S^2 $ 上的投影控制问题，采用几何与数值方法。
• 研究南极附近最优综合结构的特性，以及切换曲线在最优性丧失中的作用。

提出的方法

• 利用霍普夫纤维丛将 SO(3) 上的原始控制系统投影到 $ \mathbb{R}P^2 $ 上的约化系统，简化极值轨迹的分析。
• 应用庞特里亚金最大值原理，将候选最优轨迹约化为极值轨迹，即伪哈密顿系统解。
• 使用指标理论与高阶最优性条件（如共轭点、包络理论）排除非最优极值轨迹。
• 定义参考函数 $ N_S(\alpha) = 2\left[\frac{\pi}{8\alpha}\right] - \left[2\left[\frac{\pi}{8\alpha}\right] - \frac{\pi}{4\alpha}\right] $，用于界定 $ N(\alpha) $。
• 在球面 $ S^2 $ 上进行数值模拟，研究切换曲线与南极附近最优综合结构的行为。
• 通过定义 7 引入局部最优切换曲线的概念，要求曲线的切线方向从不与两个向量场的非负组合对齐。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \alpha \to 0 $ 时，时最优轨迹中最大切换次数 $ N(\alpha) $ 的渐近行为是什么？
• RQ2 北部半球中的所有极值轨迹是否都是全局最优的，还是在失去局部最优性之前就已失去全局最优性？
• RQ3 南极附近的最优综合结构如何依赖于余数 $ r = \pi - 2\alpha[\pi/(2\alpha)] $？
• RQ4 在何种条件下切换曲线是局部最优的，以及在何种条件下会反射轨迹？
• RQ5 是否存在一个有限参数化的轨迹族足以保证该系统中的最优性？这与其它系统中切换次数有界的案例相比如何？

主要发现

• 最大切换次数 $ N(\alpha) $ 满足 $ N_S(\alpha) \leq N(\alpha) \leq N_S(\alpha) + 4 $，其中当 $ \alpha \to 0 $ 时 $ N_S(\alpha) \sim \pi/(4\alpha) $，提供了精确估计。
• 数值模拟强烈表明北部半球中的切换曲线是局部最优的，且不会反射轨迹。
• 猜想 C1 提出：若且仅若 $ k \leq \left[\frac{\pi - \alpha}{2\alpha}\right] - 1 $，则切换曲线 $ C_k^\varepsilon(s) $ 是局部最优的，将最优性与端点处的几何对齐相关联。
• 当 $ T \leq (N_A - 1)\pi $ 时，基于北部半球构建的综合结构仍为全局最优，其中 $ N_A = \left[\frac{\pi}{2\alpha}\right] $。
• 南极附近最优综合结构的关键取决于余数 $ r = \pi - 2\alpha[\pi/(2\alpha)] $，识别出三种不同情形：$ r \in ]\alpha_2, 2\alpha[ $，$ r \in [\alpha_1, \alpha_2] $，以及 $ r \in ]0, \alpha_1[ $。
• 在情形 A（$ r \in ]\alpha_2, 2\alpha[ $）中，从 $ P_N^{+} $ 出发的切换曲线与一条通过原点的重叠曲线相连，表明最优结构发生了转变。