[论文解读] Time Reparametrization and Chaotic Dynamics in Conformable $C_0$-Semigroups

Mohamed Khoulane, Aziz El Ghazouani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2026

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 0

一句话总结

论文表明可构形时间进化等同于在非线性时钟下的经典C0半群进化，从而在可构形与经典设置之间转移 mild 解、谱混沌准则与超循环性等性质。

ABSTRACT

Conformable derivatives provide a fractional-looking calculus that remains local and admits a simple representation through classical derivatives with explicit weights. In this paper we develop a systematic operator-theoretic perspective showing that conformable time evolution is, in essence, a classical $C_0$-semigroup observed through a nonlinear clock. We introduce the conformable time map $ψ(t)=t^α/α$ and prove that every $C_0$--$α$-semigroup $\{T_α(t)\}_{t\ge0}$ can be written as $T_α(t)=T(ψ(t))$ for a uniquely determined classical $C_0$-semigroup $\{T(s)\}_{s\ge0}$, with generators agreeing on a common domain. This correspondence yields a one-to-one transfer of mild solutions and shows that orbit-based linear dynamics are invariant under conformable reparametrization. In particular, $α$-hypercyclicity and $α$--chaos coincide with the usual notions for the associated classical semigroup. As a consequence, we obtain a conformable version of the Desch--Schappacher--Webb spectral criterion for chaos. We also place the analysis in the natural functional setting provided by conformable Lebesgue spaces $L^{p,α}$ and their explicit isometric identification with standard $L^p$ spaces, which allows one to transport estimates and spectral arguments without loss. The results clarify which dynamical phenomena in conformable models are genuinely new and which are inherited from classical semigroup dynamics via a nonlinear change of time.

研究动机与目标

• 以局部替代分数阶导数的可构形微积分动机研究，给出显式的时间重标度。
• 建立一个算子理论框架，通过非线性时钟将可构形C0-α-半群与经典C0-半群相连接。
• 确立可构形与经典动力学在 mild 解、生成元及许多动力学性质上的共性。
• 引入可构形 Lebesgue 空间 Lp,α，并证明其与标准 Lp 空间的等距同构，以实现估计与谱学论证的转移。
• 将混沌准则推广到可构形设置，并澄清哪些动力学可从经典半群理论继承。

提出的方法

• 定义一个非线性时间映射 ψ(t)=t^α/α，并证明 Tα(t)=T(ψ(t))，其中 T(s) 为唯一确定的经典 C0-半群。
• 证明 α-生成元在共同定义域上与相关经典半群的生成元一致。
• 引入可构形 Lebesgue 空间 Lp,α，并通过 s=t^α 的代换证明与 Lp 的等距同构。
• 通过时间改变量传递经典谱条件，建立可构形 Desch–Schappacher–Webb 混沌准则。
• 分析可构形时间重参数化下的混沌动力学与超循环性的不变性。
• 研究 Lp,α 上的可构形平移半群及其生成元作为可构形导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 可构形时间演化如何通过非线性时间变换与经典 C0-半群相关？
• RQ2 在可构形时间重新参数化下， mild 解与生成元是否保持？
• RQ3 α-超循环性与α-混沌的概念是否与其经典对应在可构形时钟下一致？
• RQ4 谱混沌准则（Desch–Schappacher–Webb）是否可以转移到可构形半群？
• RQ5 可构形演化的合适泛函设置（Lp,α）是什么，它与标准 Lp 空间有何关系？

主要发现

• 可构形时间演化 Tα(t) 可写为 T(ψ(t))，其中 ψ(t)=t^α/α，连接了可构形与经典半群。
• 在公共定义域上，Tα 的 α-生成元与 T 的生成元一致， mild 解在时间变更下相互对应。
• 可构形 Lebesgue 空间 Lp,α 通过 s=t^α 与标准 Lp 等距同构，可实现估计与谱论论证的转移。
• 可构形半群的 α-超循环性与 α-混沌与相关经典半群的通常定义保持一致。
• 建立了一个可构形版本的 Desch–Schappacher–Webb 谱准则，显示混沌通过非线性时钟转移。
• 分析表明可构形动力学从经典半群继承了许多特征，而非引入新的记忆驱动动力学。