[论文解读] Time response of a scalar dynamical system with multiple delays via Lambert W functions

Shuo-Tsung Chen, Shun‐Pin Hsu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于Lambert W函数的解析方法，用于计算具有多个离散时滞的标量动力系统的时域响应。通过应用拉普拉斯变换，并利用Lambert W函数的无穷多条分支表示特征值，解被表示为指数函数的和，从而能够对初始条件和输入实现精确的解析响应计算，并通过与标准求解器dde23的数值对比验证了其有效性。

ABSTRACT

In this work, we establish the response of scalar systems with multiple discrete delays based on the Laplace transform. The time response function is expressed as the sum of infinite series of exponentials acting on eigenvalues inside countable branches of the Lambert W functions. Eigenvalues in each branch of Lambert W function are computed by a numerical iteration. Numerical examples are presented to illustrate the results obtained.

研究动机与目标

• 开发具有多个离散时滞的标量动力系统时域响应的解析公式。
• 通过提供闭式解，克服纯数值方法（如dde23）的局限性。
• 将Lambert W函数的应用从单时滞系统扩展至多时滞系统。
• 通过精确的响应表示，实现对时滞系统的精确控制器设计。

提出的方法

• 对具有多个离散时滞的时滞微分方程（DDE）应用拉普拉斯变换。
• 通过Lambert W函数的可数条分支所对应的特征值，将状态转移函数表示为指数函数的和。
• 在Lambert W函数的每条分支内，通过数值方法迭代计算特征值。
• 将总时域响应表示为初始条件响应、预整形函数响应与输入函数卷积的组合。
• 在拉普拉斯域中使用部分分式展开，获得每个指数项的系数。
• 为数值计算，使用有限数量的特征值分支（例如，k = -11 到 10）对无穷级数进行近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用Lambert W函数对具有多个离散时滞的标量时滞系统时域响应进行解析表达？
• RQ2 如何系统性地计算Lambert W函数所有分支中多时滞系统的特征值？
• RQ3 在多时滞情况下，状态转移函数在Lambert W分支中的结构是怎样的？
• RQ4 与dde23等数值求解器相比，该解析响应近似的准确性如何？
• RQ5 该方法能否推广至包含任意初始条件和输入函数的情况？

主要发现

• 多时滞标量系统的时域响应被表示为无穷多条指数函数的级数，每一项对应Lambert W函数某一分支的特征值。
• 通过在Lambert W函数每条分支内迭代求解，数值计算特征值，实现了方法的实际应用。
• 利用拉普拉斯域中的部分分式展开，推导出初始条件响应和输入驱动响应的解析解。
• 数值结果表明，该方法与dde23的响应几乎完全一致，验证了基于Lambert W函数的解析方法的准确性。
• 该方法成功计算了最多含三个时滞的系统响应，包括复共轭特征值对及其贡献。
• 使用32个特征值（k = -11 到 10）可对无穷级数提供高度精确的近似，且在时域中观察到收敛性。