[论文解读] Time stepping N-body simulations

Thomas Quinn, Neal Katz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 1997

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用 14

一句话总结

本文提出了一种用于N体模拟的时变自适应跳跃积分器，可在保持单粒子测试中辛结构的同时，为每个粒子提供独立的时间步长。尽管在完整模拟中由于时间步长选择导致辛结构丧失，作者开发了一种修改后的非辛但高精度的积分器，在大规模宇宙学模拟中表现优于标准方法，并推导出一种共动坐标下的辛跳跃积分形式，以纠正宇宙学N体代码中长期存在的缺陷。

ABSTRACT

Leapfrog integration has been the method of choice in N-body simulations owing to its low computational cost for a symplectic integrator with second order accuracy. We introduce a new leapfrog integrator that allows for variable timesteps for each particle in large N-body simulations. Tests with single particles in fixed potentials show that it behaves as a symplectic integrator. We then examine the results of both standard leapfrog and our temporally adaptive leapfrog on full N-body integrations of clusters and large scale structure establishing accuracy criteria for both methods. The adaptive method shows significant speed-ups over single step integrations---but the integrator no longer appears to be symplectic or, in the case of large scale structure simulations, accurate. This loss of accuracy appears to be caused by the way that the timestep is chosen, not by the integrator itself. We present a related integration technique that does retain sufficient accuracy. Although it is not symplectic, it is apparently better than previous implementations and is our current integrator of choice for large astrophysical simulations. We also note that the standard leapfrog difference equations used in cosmological N-body integrations in comoving coordinates are not symplectic. We derive an implementation of leapfrog that is in comoving canonical coordinates to correct for this deficiency.

研究动机与目标

• 开发一种适用于大规模N体模拟、支持单个粒子独立时间步长的时变自适应辛积分器。
• 解决自适应跳跃积分方法在完整N体系统中应用时辛结构与精度丧失的问题。
• 纠正宇宙学模拟中标准跳跃积分在共动坐标下非辛的缺陷。
• 为大规模天体物理模拟提供一种实用、高精度且高效的积分器。

提出的方法

• 提出一种新型跳跃积分器，可在保持单粒子测试中辛结构的同时，为每个粒子提供可变时间步长。
• 采用分层时间步长方案，粒子根据局部动力 timescales 以独立时间步长推进。
• 通过对拉格朗日量实施正则变换，推导出共动正则坐标下的辛积分器，确保能量与相空间体积守恒。
• 应用KAM定理，论证辛积分器在哈密顿系统中的稳定性。
• 实现一种修改后的积分器，虽牺牲辛结构但保持高精度与高性能，适用于完整N体模拟。
• 推导出在临界及非平直物质主导宇宙中时间积分的解析表达式，以支持共动坐标下精确积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持辛结构的前提下，使跳跃积分器实现时变自适应，以适用于大规模N体模拟？
• RQ2 为何自适应跳跃积分方法在完整模拟中会丧失精度与辛结构，尽管其在单粒子系统中表现良好？
• RQ3 使用自适应时间步长时精度下降的原因是什么？是否可在不牺牲性能的前提下加以修正？
• RQ4 标准跳跃积分在共动坐标下是否真正具有辛结构？若否，如何修正？
• RQ5 能否开发一种非辛但高精度的积分器，使其在大规模宇宙学模拟中优于标准方法？

主要发现

• 所提出的自适应跳跃积分器在固定势场的单粒子测试中保持了辛结构与二阶精度。
• 在完整N体模拟中，自适应跳跃积分方法因时间步长选择算法而丧失辛结构与精度，而非积分器结构本身的问题。
• 一种修改后的积分器虽非辛结构，但采用优化的时间步长准则（η = 0.3），实现了高精度，现已成为作者在大规模天体物理模拟中的首选积分器。
• 标准跳跃积分在共动坐标下并非辛结构，但通过正则变换与共动正则坐标下正确的时间积分，推导出一种修正版本，证明其具有辛结构。
• 新推导的共动坐标下辛积分器利用临界及非平直宇宙中时间积分的解析解，实现了精确且高效的长期积分。
• 作者证明，当计算工作量与自然时间步长成反比加权时，时间自适应可使大规模N体模拟的性能提升最高达~50倍。