[论文解读] Timelike small x Resummation for Fragmentation Functions

S. Albino, Paolo Bolzoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Numerical methods for differential equations被引用 5

一句话总结

本文在维度正则化和$¯\rm MS$因子化方案下，通过Mellin变换和自举方程方法，首次实现了类时分裂函数中双重对数（DLs）的闭式重求和。通过推导胶子辐射概率的自举方程并应用Mellin变换，作者获得了所有阶次的系数函数重求和表达式，该表达式与固定阶NNLO计算结果一致，从而实现了在小x区域下NLO量级截面计算的高精度。

ABSTRACT

The status of small x resummation in the timelike kinematics is discussed. We present a general procedure to extract the large logarithms of x in the MS factorization scheme and to resum them in a closed form. New results for the doubly-logarithm-resummed coefficient functions will be reviewed. All our resummation formulae are in agrement with the fixed NNLO computations recently done by other groups in the \bar{MS} scheme.

研究动机与目标

• 解决不同正则化方案（MG与$\overline{\rm MS}$）下固定阶NNLO计算与重求和结果之间的不一致性。
• 为类时运动学中分裂过程的系数函数中的领先对数项，发展一种系统性的提取与重求和方法。
• 在$¯\rm MS$方案下，为重求和系数函数提供一个与固定阶结果在NNLO阶一致的闭式表达式。
• 实现$e^+e^-$湮灭中半微量强子产生过程在小x区域下，NLO量级截面计算的高精度。

提出的方法

• 在$d=4-2\epsilon$维下，利用费曼图的eikonal近似和色荷相干性，推导单个胶子辐射的概率。
• 通过在不同阶次间因子分解真实辐射贡献，构建胶子分布密度$\mathcal{G}(x,z,\epsilon)$的自举方程。
• 对自举方程应用Mellin变换并递归求解，通过$z \to 0$极限强制实现角度有序性。
• 将所得重求和形式与$¯\rm MS$因子化约束比较，以提取重求和系数函数。
• 利用胶子系数函数与夸克线贡献之间的关系，从重求和的$G^{\overline{\rm MS}}$函数推导$C^{\overline{\rm MS}}_g(\omega, a_s)$。
• 通过将重求和表达式展开至NNLO，验证其与固定阶NNLO结果的一致性，确认在$¯\rm MS$方案下的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在正则化方案差异，如何在$¯\rm MS$因子化方案下一致地重求和类时系数函数中的双重对数项？
• RQ2 在$e^+e^-$湮灭中，分裂函数的系数函数$C_g^{\overline{\rm MS}}(\omega, a_s)$的正确所有阶重求和形式是什么？
• RQ3 在领先对数项层次上，$¯\rm MS$方案下的重求和结果与固定阶NNLO计算结果相比如何？
• RQ4 能否基于维度正则化下软-胶子发射概率的自举方程，推导出重求和系数函数？
• RQ5 在确保重求和结果与固定阶结果一致方面，$¯\rm MS$因子化约束起到了什么作用？

主要发现

• 作者在$¯\rm MS$方案下，为重求和系数函数$C_g^{\overline{\rm MS}}(\omega, a_s)$推导出一个在微扰理论所有阶次下有效的闭式表达式。
• 重求和结果表示为$C_g^{\overline{\rm MS}}(\omega, a_s) = \frac{2C_F}{C_A}\left[C^{\overline{\rm MS}}(\omega, a_s) - 1\right]$，其中$C^{\overline{\rm MS}}$和$\gamma^{\overline{\rm MS}}$均以闭式解析形式给出。
• 将重求和表达式展开至NNLO，与文献中已知的双重对数项固定阶NNLO结果完全一致。
• 该方法成功弥合了$¯\rm MS$方案下的重求和与固定阶计算之间的差异，解决了以往使用大质量胶子正则化方案所导致的不一致性。
• 所推导的重求和系数函数可完全控制NLO量级下系数函数中的大对数项，显著提升了小x区域分裂过程的计算精度。
• 该框架为未来在类时分裂函数中实现单对数项的重求和提供了关键工具，如结论部分所指出。