[论文解读] Tire tracks and integrable curve evolution

Gil Bor, Mark Levi+2 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过分析描述前轮轨迹如何决定后轮轨迹的自行车方程——一个一阶常微分方程——建立了自行车运动、可积系统与微分几何之间的深层联系。研究证明，三维空间中自行车的单值性映射编码了贝里相位；长自行车近似作为测量闭合前轮轨迹面积双矢量的平面仪；并揭示了自行车对应关系与达布变换及AKNS/涡旋纤维系统之间的联系，表明存在多重前轮轨迹的闭合曲线是平面纤维方程的孤子解。

ABSTRACT

We study a simple model of bicycle motion: a segment of fixed length in multi-dimensional Euclidean space, moving so that the velocity of the rear end is always aligned with the segment. If the front track is prescribed, the trajectory of the rear wheel is uniquely determined via a certain first order differential equation -- the bicycle equation. The same model, in dimension two, describes another mechanical device, the hatchet planimeter. Here is a sampler of our results. We express the linearized flow of the bicycle equation in terms of the geometry of the rear track; in dimension three, for closed front and rear tracks, this is a version of the Berry phase formula. We show that in all dimensions a sufficiently long bicycle also serves as a planimeter: it measures, approximately, the area bivector defined by the closed front track. We prove that the bicycle equation also describes rolling, without slipping and twisting, of hyperbolic space along Euclidean space. We relate the bicycle problem with two completely integrable systems: the AKNS (Ablowitz, Kaup, Newell and Segur) system and the vortex filament equation. We show that "bicycle correspondence" of space curves (front tracks sharing a common back track) is a special case of a Darboux transformation associated with the AKNS system. We show that the filament hierarchy, encoded as a single generating equation, describes a 3-dimensional bike of imaginary length. We show that a series of examples of "ambiguous" closed bicycle curves (front tracks admitting self bicycle correspondence), found recently F. Wegner, are buckled rings, or solitons of the planar filament equation. As a case study, we give a detailed analysis of such curves, arising from bicycle correspondence with multiply traversed circles.

研究动机与目标

• 理解n维欧几里得空间中自行车方程的几何与动力学性质。
• 建立自行车运动与可积系统之间的联系，特别是AKNS层级与涡旋纤维方程。
• 分析自行车系统的单值性映射，并证明其与三维空间中贝里相位的关系。
• 证明长自行车可作为近似平面仪，用于测量闭合前轮轨迹的面积双矢量。
• 表征那些存在多个前轮轨迹的闭合自行车曲线（即自行车对应关系），并将其与平面纤维方程的孤子解联系起来。

提出的方法

• 将自行车方程表述为一个一阶微分方程，用于从前轮轨迹演化后轮轨迹。
• 将自行车单值性定义为初始方向球面上的映射，证明其在二维空间中为莫比乌斯变换，并可推广至高维空间。
• 利用莫比乌斯群与李代数同构（例如，so_{2,1} ≅ sl_2(R)）分析二维与三维空间中的单值性。
• 通过达布变换将自行车系统与AKNS系统联系起来，证明自行车对应关系是此类变换的一个特例。
• 通过纤维层级的生成方程，将涡旋纤维方程与虚长度的三维自行车联系起来。
• 应用李雅普诺夫型论证与渐近分析，证明当自行车长度 ℓ → 0 时解的收敛性，从而确立解对参数的光滑依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维空间中自行车单值性与贝里相位公式有何关系？
• RQ2 长自行车在何种意义上可近似为测量闭合前轮轨迹面积双矢量的平面仪？
• RQ3 自行车对应关系与AKNS系统中达布变换之间存在何种联系？
• RQ4 存在多重前轮轨迹的模糊闭合自行车曲线——即允许多个前轮轨迹的曲线——与平面纤维方程孤子解之间有何关联？
• RQ5 当自行车长度 ℓ 趋近于零时，自行车方程解的渐近行为如何？

主要发现

• 三维空间中自行车单值性等价于贝里相位公式，将几何holonomy与自行车方向的演化联系起来。
• 足够长的自行车可将闭合前轮轨迹的面积双矢量测量误差控制在 O(1/ℓ) 阶，证实其作为平面仪的功能。
• 空间曲线的自行车对应关系精确对应于AKNS系统关联的达布变换。
• 具有虚长度的三维自行车受涡旋纤维方程控制，且整个纤维层级均编码于一个单一的生成方程之中。
• 如Wegner所发现的模糊闭合自行车曲线被识别为平面纤维方程的屈曲环或孤子解。
• 当自行车长度 ℓ → 0 时，自行车方程的解光滑收敛于零，且高阶导数也收敛，证实了解对 ℓ 的解析依赖性。