[论文解读] Tits alternative for automorphism groups of compact Kaehler manifolds

Tien‐Cuong Dinh|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文建立了紧致 Kähler 流形自同构群的 Tits 例外，证明了此类群要么包含一个非交换自由子群，要么具有有限指数的可解子群。关键结果表明，零熵自同构群构成一个正规子群，其商群是秩至多为 $k - \kappa - 1$ 的自由阿贝尔群，其中 $k$ 为复维数，$\kappa$ 取决于双有理分类的 Kodaira 维数。证明依赖于混合 Hodge-Riemann 定理与动力度分析。

ABSTRACT

We survey some properties of the automorphism groups of compact Kaehler manifolds. In particular, we present recent results by Keum, Oguiso and Zhang on the structure of these groups from the Tits alternative point of view. Several other related results will be also discussed. This paper is written for the VIASM Annual Meeting 2012.

研究动机与目标

• 建立紧致 Kähler 流形自同构群的 Tits 例外，证实 Keum-Oguiso-Zhang 提出的猜想。
• 在自同构群不包含非交换自由子群的假设下，分析其结构。
• 刻画零熵自同构子群，并确定有限指数可解子群商群的秩。
• 将自同构的动力熵与动力度、上同调作用等代数不变量联系起来。

提出的方法

• 利用混合版本的 Hodge-Riemann 定理，分析自同构在 Kähler 流形上同调作用。
• 应用 Perron-Frobenius 定理于 Kähler 单纯中的不变类，构造在群作用下不变的上同调类。
• 采用弱 Hodge-Riemann (wHR) 类的概念，以确保在自同构作用下的正性和不变性。
• 引入群同态 $\phi: G' \to \mathbb{R}^{k-\kappa-1}$，由其在上同调类作用上的对数特征值定义。
• 利用不等式 $\|\phi(g)\| \geq \frac{1}{2} \log d_{k-1}(g)$ 证明像的离散性，从而确保商群为自由阿贝尔群。
• 依赖 Yomdin-Gromov 理论，将拓扑熵等价于动力度，从而将动力系统与代数几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致 Kähler 流形的自同构群是否满足 Tits 例外，即要么包含非交换自由子群，要么是几乎可解的？
• RQ2 具有正熵的自同构的自由阿贝尔子群的最大秩是多少？
• RQ3 动力度 $d_{k-1}(g)$ 如何与 $g^*$ 在 Kähler 单纯上的上同调作用相关联？
• RQ4 零熵自同构子群是否可被刻画为有限指数可解子群中的正规子群？
• RQ5 商群 $G'/N'$ 的秩的精确上界是什么？该上界是否最优？

主要发现

• 复维数为 $k$ 的紧致 Kähler 流形 $X$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(X)$ 满足 Tits 例外：任何不含非交换自由子群的子群均为几乎可解。
• 对任意此类群 $G$，存在一个有限指数子群 $G'$，其为可解群，且零熵元素构成一个正规子群 $N'$。
• 商群 $G'/N'$ 是秩至多为 $k - \kappa - 1$ 的自由阿贝尔群，其中 $\kappa = \max(\kappa_X, 0)$ 当 $\kappa_X < k$ 时成立，否则 $\kappa = k-1$。
• 该秩上界是最优的，如 $\mathrm{SL}(k,\mathbb{Z})$ 在复环面上的作用所示，其可产生秩为 $k-1$ 的自由阿贝尔子群，且具有正熵。
• 自同构 $g$ 的拓扑熵为零，当且仅当 $\phi(g) = 0$，其中 $\phi$ 是编码其在上同调作用上对数特征值的同态。
• 像 $\phi(G')$ 在 $\mathbb{R}^{k-\kappa-1}$ 中是离散的，这确保了 $G'/N'$ 是有限秩的自由阿贝尔群。