[论文解读] Tits alternative in hypekähler manifolds

Keiji Oguiso|ArXiv.org|Apr 6, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文为射影超凯勒流形的双有理自同构群建立了蒂茨选择性：此类群要么包含非交换自由群，要么是有限秩的几乎交换群。关键结果可推广至奇异K3曲面及其希尔伯特概形的自同构群，通过存在正Mordell-Weil秩的雅可比纤维丛，证明其包含非交换自由子群。

ABSTRACT

We show an analogous result of the famous Tits alternative for a group G of birational automorphisms of a projective hyperkäher manifold: Either G contains a non-commutative free group or G is an almost abelian group of finite rank. As an application, we show that the automorphism groups of the so-called singular K3 surfaces contain non-commutative free groups.

研究动机与目标

• 建立射影超凯勒流形的双有理自同构群的蒂茨选择性。
• 研究奇异K3曲面及其希尔伯特概形的自同构群的结构。
• 确定此类群是否包含非交换自由子群，或是否为几乎阿贝尔群。
• 通过格理论与群论方法，将已知的K3曲面结果推广至高维超凯勒流形。

提出的方法

• 将线性代数群的蒂茨选择性应用于双有理自同构群在尼隆-塞弗雷表示下的像。
• 利用尼隆-塞弗雷同态的核是有限的这一事实，使群的性质可从像中提升。
• 利用射影超凯勒流形中尼隆-塞弗雷格的双曲性，确保其交截形式非退化。
• 利用存在正Mordell-Weil秩的雅可比纤维丛，构造生成非交换自由群的元素。
• 应用台球引理与双曲几何，显式验证非交换自由子群的存在性。
• 利用希尔伯特概形的普遍性，将自同构从K3曲面提升至其希尔伯特概形。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影超凯勒流形的双有理自同构群是否满足蒂茨选择性？
• RQ2 奇异K3曲面的自同构群在何种条件下包含非交换自由子群？
• RQ3 蒂茨选择性能否从K3曲面推广至高维超凯勒流形？
• RQ4 奇异K3曲面的希尔伯特概形的自同构群是否在非交换意义上非阿贝尔？
• RQ5 雅可比纤维丛的Mordell-Weil群与双有理自同构群的结构之间有何关系？

主要发现

• 任何射影超凯勒流形的双有理自同构群均满足蒂茨选择性：其要么是有限秩的几乎阿贝尔群，要么包含非交换自由子群。
• 若一超凯勒流形存在两个正Mordell-Weil秩的雅可比纤维丛，则其双有理自同构群包含非交换自由子群。
• 奇异K3曲面（即Picard数为20的曲面）的自同构群包含非交换自由子群。
• 奇异K3曲面$S$的希尔伯特概形$\mathrm{Hilb}^n(S)$的自同构群也包含非交换自由子群。
• 结果表明，蒂茨选择性中的非阿贝尔情形在所有维度上均可通过奇异K3曲面的希尔伯特概形实现。
• 证明依赖于线性代数群与萨勒姆多项式的重要结果，其中尼隆-塞弗雷格的结构起着核心作用。