[论文解读] Tits Geometry and Positive Curvature

Fuquan Fang, Karsten Grove+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 22

一句话总结

本文证明，任何在单连通、紧致、正曲率且余维数至少为二的流形上的极小作用，均与在紧致秩一对称空间（球面、复或四元数射影空间，或八元数平面）上的极小作用微分同胚。通过分析该作用的房间系统并构造其通用蒂茨覆叠，作者证明该覆叠构成一个紧致的球面建筑物，从而借助蒂茨几何与考克斯特群结构，实现了对这类作用的完整分类。

ABSTRACT

There is a well known link between (maximal) polar representations and isotropy representations of symmetric spaces provided by Dadok. Moreover, the theory by Tits and Burns-Spatzier provides a link between irreducible symmetric spaces of non-compact type of rank at least three and irreducible topological spherical buildings of rank at least three. We discover and exploit a rich structure of a (connected) chamber system of finite (Coxeter) type M associated with any polar action of cohomogeneity at least two on any simply connected closed positively curved manifold. Although this chamber system is typically not a Tits geometry of type M, we prove that in all cases but two that its universal Tits cover indeed is a building. We construct a topology on this universal cover making it into a compact spherical building in the sense of Burns and Spatzier. Using this structure we classify up to equivariant diffeomorphism all polar actions on (simply connected) positively curved manifolds of cohomogeneity at least two.

研究动机与目标

• 对单连通、紧致、正曲率且余维数至少为二的流形上的所有极小作用进行分类。
• 理解与这类作用相关的房间系统的几何与代数结构。
• 证明该房间系统的通用蒂茨覆叠在除两个例外情况外，均为紧致的球面建筑物。
• 通过蒂茨几何建立极小作用与经典对称空间及建筑物理论之间的联系。
• 证明此类作用微分同胚于在秩一对称空间上的作用，从而实现刚性分类。

提出的方法

• 从正曲率流形上极小作用的轨道结构出发，构造一个有限考克斯特型的房间系统。
• 通过蒂茨与伯恩斯-斯帕茨耶关于建筑物与群作用的结果，分析该房间系统的通用覆叠，以识别其为球面建筑物的结构。
• 利用达多克关于极小表示与对称空间的等 isotropy 表示的分类，将该作用与已知的几何模型联系起来。
• 应用房间系统及其通用覆叠的理论，推导出该作用与球面或射影空间上的线性极小作用轨道等价。
• 运用表示论与球面上的传递作用，排除非线性或非齐次作用的可能性，特别是在八元数平面的情况下。
• 利用房间系统的通用覆叠为建筑物这一事实，推导出该作用必微分同胚于在秩一对称空间上的已知作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在余维数至少为二的正曲率流形上，极小作用所关联的房间系统具有何种结构？
• RQ2 在何种条件下，该房间系统的通用蒂茨覆叠为紧致的球面建筑物？
• RQ3 所有此类极小作用是否可按微分同胚关系进行分类？
• RQ4 稳定子群（极小群）如何约束可能的几何实现？
• RQ5 八元数平面上的例外作用在分类中起何种作用？

主要发现

• 在单连通、紧致、正曲率且余维数至少为二的流形上，极小作用所关联的房间系统的通用蒂茨覆叠，在除两个例外情况外，均为紧致的球面建筑物。
• 此类作用的极小群为考克斯特群或其Z2商群，且截面微分同胚于带有线性作用的球面或实射影空间。
• 此类流形上所有极小作用均微分同胚于在紧致秩一对称空间（球面、复或四元数射影空间，或八元数平面）上的作用。
• 八元数平面上的例外作用恰好为SU(3)×SU(3)与SO(3)×G2的作用，其轨道空间为一个角度为π/2、π/3与π/4的球面三角形。
• 在扩展群G′中，S³因子在射影空间上的作用是平凡的，这排除了非线性扩张的可能性，并支持了分类结果。
• 任何在HP(n)上的几乎有效作用的核均包含于Sp(1)，这与四元数射影空间的已知等距群结构一致。