[论文解读] To be unitary-invariant or not?: a simple but non-trivial proposal for the complexity between states in quantum mechanics/field theory

Run-Qiu Yang, Yu-Sen An+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用 9

一句话总结

该论文在量子力学和量子场论中提出了一种幺正不变的量子态复杂度度量，定义为 $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$，该度量在混沌系统中重现了线性增长，并通过识别其参考态自然解释了CV和CA全息猜想。该方法解决了非幺正复杂度中的不一致性，并将复杂度增长与李亚普诺夫指数联系起来。

ABSTRACT

We make comments on some shortcomings of the non-unitary-invariant and non-bi-invariant complexity in quantum mechanics/field theory and argue that the unitary-invariant and bi-invariant complexity is still a competitive candidate in quantum mechanics/field theory, contrary to quantum circuits in quantum computation. Based on the unitary-invariance of the complexity and intuitions from the holographic complexity, we propose a novel complexity formula between two states. Our proposal shows that i) the complexity between certain states in two dimensional CFTs is given by the Liouville action, which is compatible with the path-integral complexity; ii) it also gives natural interpretation for both the CV and CA holographic conjectures and identify what the reference states are in both cases. Our proposal explicitly produces the conjectured time dependence of the complexity: linear growth in chaotic systems. Last but not least, we present interesting relations between the complexity and the Lyapunov exponent: the Lyapunov exponent is proportional to the complexity growth rate in linear growth region.

研究动机与目标

• 解决量子场论中缺乏一致且幺正不变的复杂度定义的问题。
• 阐明CV和CA全息复杂度猜想背后的参考态。
• 将混沌系统中复杂度的时间演化与幺正不变的公式统一起来。
• 证明幺正不变的复杂度可以重现预期的三阶段时间演化：线性增长、饱和与周期性回归。

提出的方法

• 提出一种基于量子态重叠的新型复杂度公式：$\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$。
• 表明该公式在二维共形场论中退化为黎曼流形作用量，从而与路径积分复杂度建立联系。
• 将CV猜想的参考态识别为在边际算符作用下扰动的TFD态。
• 将CA猜想的参考态识别为边界场算符的本征态。
• 在混沌系统中推导出线性复杂度增长 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$，其增长速率与李亚普诺夫指数 $\lambda_L$ 成正比。
• 建立一个破坏时间 $t_{cl} \sim -\frac{1}{2\lambda_L}\ln(c_1\hbar)$，在此之后线性增长停止，与量子周期性回归一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺正不变的复杂度度量能否重现混沌量子系统中复杂度的预期时间演化？
• RQ2 CV和CA全息复杂度猜想背后的参考态是什么？
• RQ3 二维共形场论中的黎曼流形作用量如何被解释为复杂度度量？
• RQ4 是否存在一种一致且内在的量子场论局域性定义，同时尊重幺正不变性？
• RQ5 李亚普诺夫指数能否在直线性区域中与复杂度增长速率直接关联？

主要发现

• 所提出的复杂度公式 $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$ 是幺正不变的，并在混沌系统中重现了线性复杂度增长 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$。
• 真空与场算符本征态之间的复杂度由划分函数给出，其在经典极限下给出欧几里得作用量，从而与黎曼流形作用量建立联系。
• CV猜想被解释为TFD态与其在边际算符作用下扰动版本之间的复杂度，而CA猜想则对应于TFD态与场算符本征态之间的复杂度。
• CV和CA猜想中复杂度的时间演化通过不同的参考态自然解释，解决了其早期行为差异的问题。
• 复杂度增长速率与李亚普诺夫指数 $\lambda_L$ 成正比，场论中满足 $\dot{\bar{\mathcal{C}}}(t) \propto E + \cdots$，与已知结果一致。
• 该提议解决了Fubini-Study距离中的不一致性，并与晚期时间的全息复杂度兼容，支持了幺正不变复杂度在QFT中的可行性。