[论文解读] Toda chain from the kink-antikink lattice

Song He, Yunguo Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文从1+1维标量场论中具有$φ^4$、$φ^6$和$φ^8$势的反kink-反kink晶格推导出Toda晶格。通过计算远距离kink之间的一阶和下一阶相互作用力，这些力随距离呈指数衰减，作者表明kink晶格动力学在一阶近似下精确映射到非周期性Toda晶格，而在下一阶近似下映射到一种新型形变Toda晶格。由于高阶修正项破坏了完全可积性，该形变系统为近可积系统。

ABSTRACT

In this paper, we have studied the kink and antikink solutions in several neutral scalar models in 1+1 dimension. We follow the standard approach to write down the leading order and the second order force between long distance separated kink and antikink. The leading order force is proportional to exponential decay with respect to the distance between the two nearest kinks or antikinks. The second order force have a similar behavior with the larger decay factor, namely $3\over 2$. We make use of these properties to construct the kink lattice. The dynamics of the kink lattice with leading order force can be identified as ordinary nonperiodic Toda lattice. Also the periodic Toda lattice can be obtained when the number of kink lattice is even. The system of kink lattice with force up to the next order corresponds to a new specific deformation of Toda lattice system. There is no well study on this deformation in the integrable literatures.We found that the deformed Toda system are near integrable system, since the integrability are hindered by high order correction terms. Our work provides a effective theory for kink interactions and a new near or quasi integrable model.

研究动机与目标

• 探索1+1维标量场论中多kink解与可积系统（特别是Toda晶格）之间的动力学对应关系。
• 在$φ^4$、$φ^6$和$φ^8$模型中，将kink与反kink之间的长程力计算至分离距离的二阶展开。
• 将所得kink晶格动力学识别为在一阶近似下同构于非周期性Toda晶格，在下一阶近似下同构于一种新型形变Toda晶格。
• 研究由kink相互作用导出的形变Toda系统的可积性性质。

提出的方法

• 使用解析方法，计算$φ^4$、$φ^6$和$φ^8$标量场论中相距较远的kink-反kink对之间的一阶和二阶相互作用力。
• 将力律识别为随距离指数衰减，一阶衰减因子为1，二阶衰减因子为$3/2$。
• 通过将kink位置与Toda晶格位点变量对应，将kink晶格动力学映射到Toda晶格。
• 使用Flaschka变换，为由二阶力导出的形变Toda系统构造$N \times N$的Lax对表示。
• 分析所得系统以研究其可积性，表明高阶修正项破坏了完全可积性，使系统成为近可积系统。
• 通过Toda系统中的$2 \times 2$ Lax对表示，建立多kink解与簇坐标之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 1+1维标量场论中kink-反kink晶格的动力学能否映射到Toda晶格系统？
• RQ2 kink之间的一阶和下一阶力在$φ^4$、$φ^6$和$φ^8$等不同自相互作用势下是否表现出普遍行为？
• RQ3 当包含二阶kink相互作用时，所出现的Toda型系统具有何种性质？
• RQ4 所得到的形变Toda系统是否可积，还是代表一种近可积模型？
• RQ5 多kink解与Toda系统中的泊松结构及簇坐标之间存在何种关系？

主要发现

• 远距离kink与反kink之间的一阶力按$e^{-|q_i - q_{i+1}|}$衰减，与非周期性Toda晶格的力律一致。
• 二阶力按$e^{-\frac{3}{2}|q_i - q_{i+1}|}$衰减，该行为在$φ^4$、$φ^6$和$φ^8$模型中具有普遍性。
• 仅包含一阶力的kink晶格与非周期性Toda晶格同构，kink数量等于晶格位点数。
• 当kink-反kink对数量为偶数时，系统映射到周期性Toda晶格，与真空边界条件一致。
• 包含二阶力后，得到一种新的形变Toda晶格系统，其包含额外的指数相互作用项，由于高阶修正项的存在，该系统不具完全可积性。
• 该形变Toda系统可通过Flaschka变换获得Lax对表示，但由于高阶项阻碍了可积性，该系统被归类为近可积或准可积系统。