[论文解读] Token Sliding on Split Graphs

Rémy Belmonte, Eun Jung Kim+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文證明了在切分圖上，依賴集重配置問題在令牌滑動規則下為 PSPACE-完全，解決了重配置複雜度領域的一個開放問題。此外，本文進一步顯示，雖然對於所有固定的 c ≥ 1，c-可圖形化重配置問題在弦圖上為 PSPACE-完全，但在切分圖上卻存在一個 n^O(c) 的多項式時間演算法——除了 c = 1 的情況，此時問題仍為 PSPACE-完全，揭示了此規則在切分圖上的獨特二分性。

ABSTRACT

We consider the complexity of the Independent Set Reconfiguration problem under the Token Sliding rule. In this problem we are given two independent sets of a graph and are asked if we can transform one to the other by repeatedly exchanging a vertex that is currently in the set with one of its neighbors, while maintaining the set independent. Our main result is to show that this problem is PSPACE-complete on split graphs (and hence also on chordal graphs), thus resolving an open problem in this area. We then go on to consider the c-Colorable Reconfiguration problem under the same rule, where the constraint is now to maintain the set c-colorable at all times. As one may expect, a simple modification of our reduction shows that this more general problem is PSPACE-complete for all fixed c >= 1 on chordal graphs. Somewhat surprisingly, we show that the same cannot be said for split graphs: we give a polynomial time (n^{O(c)}) algorithm for all fixed values of c, except c=1, for which the problem is PSPACE-complete. We complement our algorithm with a lower bound showing that c-Colorable Reconfiguration is W[2]-hard on split graphs parameterized by c and the length of the solution, as well as a tight ETH-based lower bound for both parameters.

研究动机与目标

• 解決在弦圖與切分圖上，依賴集重配置問題在令牌滑動規則下的複雜度開放問題。
• 探討固定 c ≥ 1 時，c-可圖形化重配置問題在切分圖上的參數化複雜度。
• 確定在相同規則下，切分圖上依賴集重配置問題的難度是否可推廣至更高的 c 值。
• 針對參數 c 和解長度 ℓ，建立 c-可圖形化重配置問題的緊緻下界。
• 探討令牌滑動規則與其他重配置規則在切分圖上的結構差異，特別是在演算法可解性方面的差異。

提出的方法

• 透過從支配集重配置問題的一種變體進行歸約，以證明在切分圖上，依賴集重配置問題在令牌滑動規則下為 PSPACE-完全。
• 從輸入圖 G 建構一個切分圖 G′，使得 G 中的大小為 k 的支配集對應於 G′ 中大小為 (n+k) 的 k-可圖形化集合。
• 建立 G 中有效 TJ 動作與 G′ 中有效 TS 動作之間的一一對應，並保持可行性與解長度不變。
• 調整歸約方法，以證明對於所有固定的 c ≥ 1，c-可圖形化重配置問題在弦圖上為 PSPACE-完全。
• 設計一個 n^O(c) 的動態規劃演算法，適用於切分圖上的 c-可圖形化重配置問題，但排除 c = 1 的情況。
• 透過從支配集重配置問題歸約，證明 W[2]-難度與基於 ETH 的下界，顯示在 ETH 下，不存在 o(n^{c+ℓ}) 的演算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在切分圖上，依賴集重配置問題在令牌滑動規則下是否為 PSPACE-完全？
• RQ2 c-可圖形化重配置問題在弦圖上從 c = 1 推廣至更高固定 c 值時，其 PSPACE-完全性是否仍然成立？
• RQ3 即使在 c = 1 時問題為 PSPACE-完全，c-可圖形化重配置問題在切分圖上是否對所有固定的 c ≥ 2 皆存在多項式時間解法？
• RQ4 當參數化為 c 和解長度 ℓ 時，c-可圖形化重配置問題在切分圖上的參數化複雜度為何？
• RQ5 在切分圖上，令牌滑動規則與其他重配置規則之間是否存在本質上的複雜度行為差異？

主要发现

• 在切分圖上，依賴集重配置問題在令牌滑動規則下為 PSPACE-完全，解決了該領域的一個開放問題。
• 同一問題在弦圖與甚至無環圖上亦保持 PSPACE-完全，因為切分圖是這些類別的子類。
• 對於所有固定的 c ≥ 1，c-可圖形化重配置問題在弦圖上於令牌滑動規則下為 PSPACE-完全。
• 在切分圖上，c-可圖形化重配置問題對所有 c ≥ 2 存在 n^O(c) 的演算法，但當 c = 1 時仍為 PSPACE-完全。
• 在切分圖上，針對所有三種規則（TAR、TJ、TS），當參數化為 c 和解長度 ℓ 時，該問題為 W[2]-難。
• 在 Exponential Time Hypothesis (ETH) 下，切分圖上的 c-可圖形化重配置問題不存在 o(n^{c+ℓ}) 的演算法，與 n^O(c) 演算法的上界完全匹配。