[论文解读] Tonelli Hamiltonians without conjugate points and $C^0$ integrability

Marc Arcostanzo, Marie-Claude Arnaud+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 27被引用 8

一句话总结

该论文证明了在无共轭点的 $n$-环面余切丛上的所有 Tonelli 哈密顿量均为 $C^0$ 可积，即相空间允许由不变的 $C^0$ 拉格朗日子流形构成的连续叶状结构。对于 $C^\infty$ 哈密顿量，进一步表明该叶状结构中存在一个稠密的 $G_\delta$ 子集，其上的动力系统为严格遍历；且所有此类系统均具有零李雅普诺夫指数，以及趋于零的拓扑熵与度量熵。

ABSTRACT

We prove that all the Tonelli Hamiltonians defined on the cotangent bundle $T^*\T^n$ of the $n$-dimensional torus that have no conjugate points are $C^0$ integrable, i.e. $T^*\T^n$ is $C^0$ foliated by a family $\Fc$ of invariant $C^0$ Lagrangian graphs. Assuming that the Hamiltonian is $C^\infty$, we prove that there exists a $G_δ$ subset $\Gc$ of $\Fc$ such that the dynamics restricted to every element of $\Gc$ is strictly ergodic. Moreover, we prove that the Lyapunov exponents of every $C^0$ integrable Tonelli Hamiltonian are zero and deduce that the metric and topological entropies vanish.

研究动机与目标

• 在 $T^*\mathbb{T}^n$ 上建立无共轭点的 Tonelli 哈密顿量的 $C^0$ 可积性。
• 证明对于 $C^\infty$ 的此类哈密顿量，其不变拉格朗日子流形中存在一个稠密的 $G_\delta$ 子集，其上动力系统为严格遍历。
• 证明所有 $C^0$ 可积的 Tonelli 哈密顿量均具有零李雅普诺夫指数，因此其度量熵与拓扑熵也为零。
• 通过弱 KAM 理论与 Aubry-Mather 理论，将 Heber 关于测地流的结果推广至一般 Tonelli 哈密顿量。

提出的方法

• 利用弱 KAM 理论与 Aubry-Mather 理论，证明叶状结构中的每片叶子对应于给定上同调类的对偶 Aubry 集。
• 在对偶 Aubry 集 $\mathcal{G}^{*}_{T,r}$ 中构造周期为 $T$、同调类为 $r$ 的周期轨道，这些轨道在哈密顿流下不变。
• 应用一种 KAM 型定理，证明 $\mathcal{G}^{*}_{T,r}$ 中的周期轨道被 $C^\infty$ 拉格朗日环面所逼近，且其上动力系统与无理旋转共轭。
• 在 $\mathcal{G}^{*}_{T,r}$ 附近建立哈密顿流的正规形，借助 Burago-Ivanov 定理将其与平坦度量的测地流联系起来。
• 利用 Green 捆理论分析李雅普诺夫指数，证明在不变图上 $G_-$ 与 $G_+$ 重合，从而推出零李雅普诺夫指数。
• 应用 Oseledet 定理，将 $G_- \cap G_+$ 的维数与零李雅普诺夫指数的个数联系起来，从而证明熵为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $T^*\mathbb{T}^n$ 上无共轭点的 Tonelli 哈密顿量是否为 $C^0$ 可积，即相空间是否可被不变的 $C^0$ 拉格朗日子流形叶状化？
• RQ2 $C^\infty$ 的无共轭点 Tonelli 动力系统是否包含一个稠密的 $G_\delta$ 子集，其上的不变环面具有严格遍历动力？
• RQ3 无共轭点与 $C^0$ 可积系统中李雅普诺夫指数消失之间存在何种关系？
• RQ4 Green 捆与 Oseledet 分解如何刻画此类系统中不变拉格朗日子流形上的动力行为？
• RQ5 能否通过弱 KAM 理论与正规形技术，将平坦环面上测地流的结果推广至一般 Tonelli 哈密顿量？

主要发现

• 所有在 $T^*\mathbb{T}^n$ 上无共轭点的 Tonelli 哈密顿量均为 $C^0$ 可积，其相空间被不变的 $C^0$ 拉格朗日子流形叶状化。
• 对于 $C^\infty$ 的 Tonelli 哈密顿量，叶状结构中存在一个稠密的 $G_\delta$ 子集 $\mathcal{G}$，使得对每个 $\mathcal{T} \in \mathcal{G}$，其上限制的动力系统为严格遍历。
• 所有 $C^0$ 可积 Tonelli 哈密顿量的李雅普诺夫指数均为零，表明系统为非双曲且非混沌。
• 此类系统的度量熵与拓扑熵均为零，与轨迹无指数发散一致。
• 当对偶 Aubry 集 $\mathcal{A}^{*}_c(H)$ 为图时，其与 Mañé 集 $\mathcal{N}^{*}_c(H)$ 重合，且这恰好发生在系统为 $C^0$ 可积时。
• 在不变的 $C^0$ 拉格朗日子流形上，Green 捆满足 $G_- = G_+$，这表明李雅普诺夫指数为零，从而确认了非双曲性。