[论文解读] Topics in Ramsey Theory

Mano Vikash Janardhanan|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本硕士论文使用概率方法，为固定范围 $m$ 的半等差数列型 Ramsey 数建立了指数下界。证明了 $SP_m(k) > c^k$，其中 $c > 1$，且 $c$ 随 $m$ 增大而减小，当 $m \to \infty$ 时趋近于 1，显著优于先前的二次下界。

ABSTRACT

Ramsey theory is the study of conditions under which mathematical objects show order when partitioned. Ramsey theory on the integers concerns itself with partitions of $[1,n]$ into $r$ subsets and asks the question whether one (or more) of these $r$ subsets contains a $k$-term member of $\mathcal{F}$, where $[1,n]=\{1,2,3,\ldots,n\}$ and $\mathcal{F}$ is a certain family of subsets of $\mathbb{Z}^+$. When $\mathcal{F}$ is fixed to be the set of arithmetic progressions, the corresponding Ramsey-type numbers are called the van der Waerden numbers. I started the project choosing $\mathcal{F}$ to be the set of semi-progressions of scope $m$. A semi-progression of scope $m\in \mathbb{Z}^+$ is a set of integers $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ such that for some $d\in\mathbb{Z}^+$, $x_{i}-x_{i-1}\in\{d,2d,\ldots,md\}$ for all $i\in\{2,3,\ldots,k\}$. The exact values of Ramsey-type functions corresponding to semi-progressions are not known. We use $SP_m(k)$ to denote these numbers as a Ramsey-type function of $k$ for a fixed scope $m$. During this project, I used the probabilistic method to get an exponential lower bound for any fixed $m$. The first chapter starts with a brief introduction to Ramsey theory and then explains the problem considered. In the second chapter, I give the results obtained on semi-progressions. In the third chapter, I will discuss the lower bound obtained on $Q_1(k)$. When $\mathcal{F}$ is chosen to be quasi-progressions of diameter $n$, the corresponding Ramsey-type numbers obtained are denoted as $Q_n(k)$. The last chapter gives an exposition of advanced probabilistic techniques, in particular concentration inequalities and how to apply them.

研究动机与目标

• 研究整数中固定范围 $m$ 的半等差数列型 Ramsey 数。
• 改进已知的 $SP_m(k)$ 的下界，其中 $SP_m(k)$ 是指任意 $r$-染色 $[1,N]$ 中必然包含一个单色 $k$-项范围为 $m$ 的半等差数列的最小 $N$。
• 应用概率方法，推导出强于以往已知的下界。
• 探讨该方法在推广至更大直径的拟等差数列时的局限性。
• 展示高级集中不等式在概率组合数学中的实用性。

提出的方法

• 使用概率方法估计在 $[1,N]$ 的随机 2-染色中单色 $k$-项半等差数列的期望数量。
• 通过固定起点 $a$ 和公差 $d$，统计包含单色半等差数列的染色方式，并将每种染色映射为一组跳跃次数的元组。
• 应用多项式系数和几何级数，对每个 $(a,d)$ 对的染色数量进行上界估计，得出 $|\gamma_{a,d}| \leq 2^N \left(\frac{2^m - 1}{2^m}\right)^{k-1}$。
• 对所有可能的 $a$ 和 $d$ 求和，以限制坏染色的总数：$S \leq \frac{N^2}{k} \cdot 2^N \left(\frac{2^m - 1}{2^m}\right)^{k-1}$。
• 施加条件 $S < 2^N$ 以保证存在不含单色 $k$-项半等差数列的染色，从而得到 $N < k \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{k-1}$。
• 推导出指数下界 $SP_m(k) > c^k$，其中 $c = \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{1 - \frac{1}{k}}$，且当 $m \to \infty$ 时趋于 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 目前已知的 $SP_m(k)$（即任意 2-染色 $[1,N]$ 必然包含一个单色 $k$-项范围为 $m$ 的半等差数列的最小 $N$）的最好下界是什么？
• RQ2 概率方法能否用于改进 $SP_m(k)$ 的已知二次下界？
• RQ3 对范围 $m$，$SP_m(k)$ 的指数下界如何依赖于 $m$？
• RQ4 为何相同的方法无法为直径 $n > 1$ 的拟等差数列导出指数下界？
• RQ5 在改进此类下界时，可使用哪些高级概率工具，如集中不等式？

主要发现

• 本文建立了指数下界 $SP_m(k) > c^k$（$c > 1$），显著优于先前的二次下界。
• 指数的底 $c = \left(\frac{2^m}{2^m - 1}\right)^{1 - \frac{1}{k}}$ 是 $m$ 的严格递减函数，且当 $m \to \infty$ 时趋于 1。
• 对于范围 $m = 2$，该方法给出 $N < k \left(\frac{4}{3}\right)^k$，意味着 $SP_2(k) > \left(\frac{3}{4}\right)^k \cdot k^{-1} \cdot 4^k$，其为 $k$ 的指数函数。
• 该方法对直径 $n > 1$ 的拟等差数列失效，仅能得出 $Q_n(k) > c^k$（$c < 1$），此下界无实际意义。
• 分析表明，概率方法结合多项式系数计数与几何级数求和，在 Ramsey 型问题中具有强大效力。
• 本研究凸显了集中不等式在组合设定中估计随机变量集中性方面的实用性。