[论文解读] Topics in the theory of positive solutions of second-order elliptic and parabolic partial differential equations

Yehuda Pinchover|ArXiv.org|Dec 18, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文全面综述了非紧黎曼流形上二阶椭圆与抛物型偏微分方程正解理论的最新进展，重点研究临界性理论、广义主特征值，以及格林函数与热核的行为。主要贡献在于完整解决了巴里·西蒙提出的关于薛定谔算子的刘维尔定理的开放问题。

ABSTRACT

The purpose of the paper is to review a variety of recent developments in the theory of positive solutions of general linear elliptic and parabolic equations of second-order on noncompact Riemannian manifolds, and to point out a number of their consequences.

研究动机与目标

• 综述非紧黎曼流形上一般线性二阶椭圆与抛物型偏微分方程正解理论的最新发展。
• 将巴里·西蒙对薛定谔算子的正性结果推广至更广泛的算子与权函数类。
• 阐明临界性、亚临界性与基态在正解结构中的作用。
• 建立临界性理论与热核及抛物型柯西问题大时间行为之间的联系。
• 解决薛定谔算子刘维尔理论中的一个开放问题（定理11.2）。

提出的方法

• 引入广义主特征值及正解在无穷远处最小增长的概念。
• 应用广义最大值原理与截断函数技巧分析正性与临界性。
• 利用Picone恒等式与泛函分析方法研究带势项的$p$-拉普拉斯算子。
• 在临界性背景下定义并分析$p$-格林函数及其最小增长性质。
• 采用积分表示与马丁边界理论刻画正解。
• 应用摄动理论研究临界性在不定及紧支集摄动下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有不定权函数的二阶椭圆型算子，广义主特征值$\lambda_0(P, \Omega, V)$由什么特征刻画？
• RQ2 算子的临界性如何与具有最小增长的正解的存在性与唯一性相关联？
• RQ3 临界性与热核长时间行为之间的确切关系是什么？
• RQ4 在何种条件下，抛物型方程的正柯西问题不唯一？
• RQ5 带势项的$p$-拉普拉斯算子在摄动下如何表现？何时其相关泛函为临界或亚临界？

主要发现

• 广义主特征值$\lambda_0(P, \Omega, V)$定义良好，并表征正解存在的阈值。
• 泛函$Q(u) = \int_\Omega (|\nabla u|^p + V|u|^p)\,dx$在$\Omega$中为亚临界或临界，临界性等价于方程$Q'(u) = 0$存在唯一正上解。
• 当$1 < p \leq d$时，临界性对应于存在唯一正解，其在无穷远处具有最小增长，并在奇点处具有可去奇点。
• 对于临界泛函，Poincaré型不等式（13.6）成立，其下界涉及权函数$W$与线性泛函项。
• $Q_{V+sV_0}$在$s \in (\tau_-, \tau_+)$时保持亚临界，其中$\tau_+ > 0$且$\tau_- < 0$，临界性在阈值$s = \tau_+$处出现。
• $Q_V$的临界性在小的正摄动$V_0$下保持不变，当且仅当$\int_\Omega V_0 \varphi_0^p\,dx > 0$，其中$\varphi_0$为基态。