[论文解读] Topics in the Value Distribution of Random Analytic Functions

Alon Nishry|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 4

一句话总结

本论文研究了随机解析函数的值分布，重点关注Rademacher泰勒级数与高斯整函数。论文证明了Rademacher傅里叶级数的对数可积性，解决了Kahane关于随机泰勒级数值域的长期问题，证明了零点在扇形区域中的等分布性，并通过一种新颖的系数速率函数，完整解决了高斯整函数的洞概率渐近行为。

ABSTRACT

This thesis is concerned with the behavior of random analytic functions. In particular, we are interested in the value distribution of Taylor series with independent random coefficients. We begin with a study of the properties of Fourier series with random signs. The main result states that the logarithm of such series is integrable (to any power). Using this result, we answer an old question of J.-P. Kahane, concerning the range of random Taylor series in the unit disk. In addition, we prove a law of large numbers for the number of zeros of entire functions given by Taylor series with random signs. Then we examine some 'rare' events related to the zero set of Gaussian entire functions (given by a Taylor series). In particular, we are interested in the 'hole' event, where the function has no zeros inside a large disk, centered at the origin. We give precise logarithmic asymptotics for the probability of this event, as the radius tends to infinite, depending on the variance of the coefficients of the series. It should be mentioned that our results do not assume any 'regularity' conditions.

研究动机与目标

• 理解由独立系数定义的随机泰勒级数的值分布。
• 解决Kahane关于单位圆内随机泰勒级数值域的长期悬而未决问题。
• 刻画Rademacher整函数零点在角扇形区域中的等分布性。
• 确定高斯整函数在大圆盘中无零点的概率的精确对数渐近行为。
• 在不假设系数模长具有正则性或增长条件的前提下建立相关结果。

提出的方法

• 利用F. Nazarov关于间隙傅里叶级数的方法，证明Rademacher傅里叶级数的对数可积性。
• 应用Turán型与Khinchin型不等式，控制部分和及其平移的$L^2$-范数。
• 引入$ ext{Exp}_{ ext{loc}}$性质，描述小位移几乎线性相关函数的特征。
• 采用谱分析与近似谱引理，分析$L_{ ext{RF}}^2$函数的结构。
• 提出一种新函数，衡量高斯泰勒级数中洞概率衰减与系数衰减速率之间的关系。
• 应用鞍点法，推导指数生成函数中系数的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位圆内，具有Rademacher系数的随机泰勒级数的值域是什么？其几乎必然覆盖整个单位圆盘吗？
• RQ2 Rademacher整函数在半径为$r$的圆盘中的零点数量如何随半径增长？其在角扇形区域中的分布是否等分布？
• RQ3 高斯整函数在原点为中心的大圆盘中无零点的概率的精确渐近行为是什么？
• RQ4 是否可以在不假设系数具有规则增长或排除例外集合的前提下，刻画洞概率的渐近行为？
• RQ5 对于非圆盘区域（如不相交圆盘的并集或细长矩形）的洞概率行为如何？

主要发现

• 任何Rademacher傅里叶级数的对数在任意幂次下可积，这是后续分析的关键技术结果。
• Rademacher泰勒级数在单位圆盘中的值域几乎必然覆盖整个复平面，从而解决了Kahane的问题。
• Rademacher整函数在半径为$r$的圆盘中的零点数量按$r^2$增长，且在角扇形区域中实现等分布。
• 对于高斯整函数，洞概率衰减为$ ext{Prob}( ext{在 } rbD ext{ 中无零点}) = ext{Exp}(-S(r)(1+o(1)))$，其中$S(r)$是系数衰减速率的函数。
• 半径为$r$的圆盘的洞概率渐近行为由一个新函数$S(r)$完全刻画，该函数捕捉了系数衰减与洞概率衰减之间的相互作用。
• 两个不相交圆盘并集的洞概率并非渐近独立，表明零点回避行为存在强烈的空间相关性。