[论文解读] Topological Analysis of Nerves, Reeb Spaces, Mappers, and Multiscale Mappers

Tamal K. Dey, Facundo Mémoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文通过建立路径连通覆盖 $ \mathcal{U} $ 的域 $ X $ 的神经复形 $ N(\mathcal{U}) $ 的第一同调群 $ H_1 $ 不可能包含比 $ H_1(X) $ 本身更多的拓扑信息，对神经复形、Reeb 空间、映射器和多尺度映射器进行了拓扑分析。它进一步利用基于伪度量的大小度量，刻画了 $ X $ 的哪些 $ H_1 $-类在神经复形中得以保留，并通过映射诱导度量将该分析扩展至映射器和多尺度映射器的持久同调，展示了交错与收敛结果。

ABSTRACT

Data analysis often concerns not only the space where data come from, but also various types of maps attached to data. In recent years, several related structures have been used to study maps on data, including Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The construction of these structures also relies on the so-called \emph{nerve} of a cover of the domain. In this paper, we aim to analyze the topological information encoded in these structures in order to provide better understanding of these structures and facilitate their practical usage. More specifically, we show that the one-dimensional homology of the nerve complex $N(\mathcal{U})$ of a path-connected cover $\mathcal{U}$ of a domain $X$ cannot be richer than that of the domain $X$ itself. Intuitively, this result means that no new $H_1$-homology class can be "created" under a natural map from $X$ to the nerve complex $N(\mathcal{U})$. Equipping $X$ with a pseudometric $d$, we further refine this result and characterize the classes of $H_1(X)$ that may survive in the nerve complex using the notion of \emph{size} of the covering elements in $\mathcal{U}$. These fundamental results about nerve complexes then lead to an analysis of the $H_1$-homology of Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The analysis of $H_1$-homology groups unfortunately does not extend to higher dimensions. Nevertheless, by using a map-induced metric, establishing a Gromov-Hausdorff convergence result between mappers and the domain, and interleaving relevant modules, we can still analyze the persistent homology groups of (multiscale) mappers to establish a connection to Reeb spaces.

研究动机与目标

• 理解神经复形、Reeb 空间、映射器和多尺度映射器中编码的拓扑信息。
• 分析在路径连通覆盖 $ \mathcal{U} $ 下，域 $ X $ 与其神经复形 $ N(\mathcal{U}) $ 的第一同调群之间的关系。
• 利用 $ X $ 上的伪度量刻画 $ X $ 的哪些 $ H_1 $-类在 $ N(\mathcal{U}) $ 中得以保留。
• 通过映射诱导度量与交错理论，将分析扩展至映射器和多尺度映射器的持久同调。
• 建立映射器复形与 $ (X, d_f) $ 的内在 Čech 过滤之间的 Gromov-Hausdorff 收敛性与交错关系。

提出的方法

• 从域 $ X $ 的路径连通开覆盖 $ \mathcal{U} $ 构造神经复形 $ N(\mathcal{U}) $。
• 定义 $ X $ 上的伪度量 $ d_f $，即所有连接两点的路径 $ \rho $ 的 $ f(\rho) $ 直径的下确界。
• 建立从 $ X $ 到 $ N(\mathcal{U}) $ 的自然映射，证明对于路径连通覆盖，有 $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ 是满射。
• 引入覆盖元素的大小度量，以刻画 $ X $ 的哪些 $ H_1 $-类在 $ N(\mathcal{U}) $ 中得以保留。
• 将覆盖塔 $ \mathfrak{U} $ 定义为 $ (c,s) $-良好，以确保对覆盖元素直径的统一控制。
• 通过内在 Čech 过滤与映射器构造，构建交错的单纯复形塔，以证明持久同调中的 Gromov-Hausdorff 收敛性与交错关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于路径连通覆盖 $ \mathcal{U} $，神经复形 $ N(\mathcal{U}) $ 的第一同调群 $ H_1(N(\mathcal{U})) $ 是否可能包含比 $ H_1(X) $ 更多的拓扑信息？
• RQ2 哪些 $ H_1 $-类在神经复形 $ N(\mathcal{U}) $ 中得以保留？它们能否通过覆盖元素的大小进行刻画？
• RQ3 在映射诱导度量下，多尺度映射器的持久同调是否收敛于 Reeb 空间或内在 Čech 复形？
• RQ4 交错理论能否用于关联映射器的持久同调与 $ (X, d_f) $ 的内在 Čech 过滤？
• RQ5 在覆盖的附加拓扑条件下，$ H_1 $-满射性质是否可推广至更高维度的同调群？

主要发现

• 对于域 $ X $ 的任意路径连通开覆盖 $ \mathcal{U} $，自然映射 $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ 是满射，意味着神经复形中不会产生新的 $ H_1 $-类。
• 在 $ N(\mathcal{U}) $ 中得以保留的 $ X $ 的 $ H_1 $-类，可通过伪度量 $ d_f $ 测量的覆盖元素大小来刻画。
• 多尺度映射器 $ \mathrm{MM}(\mathfrak{U}, f) $ 与 $ (X, d_f) $ 的内在 Čech 过滤 $ \mathfrak{C}_s $ 的持久同调是 $ 2c $-乘法交错的，意味着具有稳定性和收敛性。
• 多尺度映射器与内在 Čech 过滤的对数尺度持久图满足 $ d_B(\mathrm{Dg}_{\log}\mathrm{MM}, \mathrm{Dg}_{\log}\mathfrak{C}_s) \leq 2c $，建立了它们相似性的定量界。
• 在映射诱导度量 $ d_f $ 下，映射器复形与域 $ X $ 之间建立了 Gromov-Hausdorff 收敛性。
• 论文通过反例表明，关于 $ H_1 $ 的结果无法推广至更高维同调群。