[论文解读] Topological analysis of scalar fields with outliers

Mickaël Buchet, Frédéric Chazal+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对受无界几何与函数异常值污染的标量场的鲁棒拓扑数据分析方法。通过结合基于k-近邻的函数平滑与距离到测度函数进行几何过滤，该算法在温和采样条件下，理论上保证其生成的持久图与真实持久图接近，即使存在任意函数误差亦成立。

ABSTRACT

Given a real-valued function $f$ defined over a manifold $M$ embedded in $\mathbb{R}^d$, we are interested in recovering structural information about $f$ from the sole information of its values on a finite sample $P$. Existing methods provide approximation to the persistence diagram of $f$ when geometric noise and functional noise are bounded. However, they fail in the presence of aberrant values, also called outliers, both in theory and practice. We propose a new algorithm that deals with outliers. We handle aberrant functional values with a method inspired from the k-nearest neighbors regression and the local median filtering, while the geometric outliers are handled using the distance to a measure. Combined with topological results on nested filtrations, our algorithm performs robust topological analysis of scalar fields in a wider range of noise models than handled by current methods. We provide theoretical guarantees and experimental results on the quality of our approximation of the sampled scalar field.

研究动机与目标

• 解决现有拓扑数据分析方法在标量场采样中存在函数异常值与几何异常值时失效的问题。
• 在无界噪声模型（包括任意函数异常值与几何异常值）下，为持久图近似提供理论保证。
• 开发一个统一框架，通过独立的过滤与估计技术，分离并处理几何与函数噪声。
• 将拓扑数据分析的适用范围从有界噪声假设扩展至更广泛场景，实现对含故障测量的真实世界传感器数据的鲁棒推断。

提出的方法

• 该方法提出一种基于k-近邻回归的新估计器 $\hat{f}$，通过使用基于中位数或差异度的平滑方式，使其对函数异常值具有鲁棒性。
• 利用距离到测度函数过滤几何异常值，该函数可识别并移除远离底层流形 $\mathsf{M}$ 的点。
• 该算法采用两阶段流程：首先根据点到测度的距离过滤点，然后在过滤后的集合上使用鲁棒回归重新估计函数值。
• 从过滤并平滑后的点集出发，通过Rips过滤计算持久图，并通过嵌套过滤推导出理论交错边界。
• 利用交错理论建立理论保证，表明所得持久模是 $\left(\frac{4}{3}\frac{c\rho_{\mathsf{M}}\delta'}{\rho_{\mathsf{M}}-(\eta+{\varepsilon})} + \xi s\right)$-交错的，与真实持久模一致。
• 该框架通过在广义采样条件下分别建模几何与函数噪声，实现对相互依赖的几何与函数噪声的解耦。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使拓扑数据分析对无界函数异常值具有鲁棒性，即观测函数值可能与真实值相差任意远？
• RQ2 如何在不事先知晓底层流形的情况下，有效过滤具有错误位置的几何异常值？
• RQ3 在允许无界噪声的广义采样条件下，是否可能理论保证真实持久图的近似？
• RQ4 如何在同时存在函数与几何噪声的情况下，实现两者的解耦，同时保持拓扑结构的完整性？

主要发现

• 所提算法在真实持久模与计算持久模之间实现了理论交错边界，边界为 $\left(\frac{4}{3}\frac{c\rho_{\mathsf{M}}\delta'}{\rho_{\mathsf{M}}-(\eta+{\varepsilon})} + \xi s\right)$，其中 $\xi = 1$ 对应k-中位数，$\xi = \left(1+2\sqrt{\frac{k-k'}{2k'-k}}\right)$ 对应差异度估计。
• 该方法成功处理了具有任意大误差的函数异常值，而这是以往有界噪声方法无法实现的。
• 理论保证在广义采样条件下成立，该条件包含有界Hausdorff距离、有界函数误差与有界Wasserstein距离作为特例。
• 实验结果表明，即使在严重噪声条件下，该算法仍能生成高质量的真实持久图近似，优于标准方法在异常值存在时的表现。
• 该框架对相互依赖的噪声具有鲁棒性：通过距离到测度过滤在函数平滑前处理由几何异常值引发的函数异常值。