[论文解读] Topological charge conservation for continuous insulators

Guillaume Bal|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文通过将哈密顿量与域壁结合以定义弗雷德霍姆指标，建立了欧几里得空间中连续拓扑绝缘体和超导体的拓扑荷守恒定律。证明了该指标等于量化线电导率，将体-边对应关系推广至高维，并通过费多索夫-霍尔曼公式与克利福德代数分解，提供了一种计算上可行的方法。

ABSTRACT

This paper proposes a classification of elliptic (pseudo-)differential Hamiltonians describing topological insulators and superconductors in Euclidean space by means of domain walls. Augmenting a given Hamiltonian by one or several domain walls results in confinement that naturally yields a Fredholm operator, whose index is taken as the topological charge of the system. A Fedosov-Hörmander formula implementing in Euclidean spaces an Atiyah-Singer index theorem allows for an explicit computation of the index in terms of the symbol of the Fredholm operator. For Hamiltonians admitting an appropriate decomposition in a Clifford algebra, the index is given by the easily computable degree of a naturally associated map. A practically important property of topological insulators is the asymmetric transport observed along one-dimensional lines generated by the domain walls. This asymmetry is captured by a line conductivity, a physical observable of the system. We prove that the line conductivity is quantized and given by the index of a second Fredholm operator of Toeplitz type. We also prove a topological charge conservation stating that the two aforementioned indices agree. This result generalizes to higher dimensions and higher-order topological insulators the bulk-edge correspondence of two-dimensional materials. We apply this procedure to evaluate the topological charge of several classical examples of (standard and higher-order) topological insulators and superconductors in one, two, and three spatial dimensions.

研究动机与目标

• 通过域壁对欧几里得空间中描述拓扑绝缘体和超导体的椭圆伪微分哈密顿量进行分类。
• 将系统的拓扑荷定义为通过将哈密顿量与域壁结合而构造的约束算子的弗雷德霍姆指标。
• 建立一个拓扑荷守恒定律，将体拓扑不变量（弗雷德霍姆指标）与线电导率这一物理可观测量联系起来。
• 将二维体-边对应关系推广至高维及高阶拓扑绝缘体。
• 利用费多索夫-霍尔曼指标定理与克利福德代数结构，提供一个显式且可计算的拓扑荷公式。

提出的方法

• 通过在最后一个空间维度中引入域壁，构造一个弗雷德霍姆算子 $ F = H_{d-1} - i m(x_d) $，确保其椭圆性及在无穷远处的适当增长。
• 使用费多索夫-霍尔曼公式计算 $ F $ 的弗雷德霍姆指标，该指标定义了拓扑荷，其计算基于哈密顿量的符号。
• 对于具有克利福德代数结构的哈密顿量，通过符号导出的映射的次数计算指标，实现高效计算。
• 定义第二个托普利茨型弗雷德霍姆算子以捕捉线电导率，即沿一维界面不对称输运的物理可观测量。
• 证明托普利茨算子的指标（线电导率）等于约束弗雷德霍姆算子的指标（拓扑荷），从而确立拓扑荷守恒。
• 将该框架应用于一维、二维和三维中的经典例子，包括高阶拓扑绝缘体和具有平坦能带或朗道能级的正则化模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意空间维数下系统地定义并计算连续拓扑绝缘体的拓扑荷？
• RQ2 体拓扑不变量（约束算子的弗雷德霍姆指标）与线电导率这一物理可观测量之间存在何种关系？
• RQ3 体-边对应关系在多大程度上可推广至高维及高阶拓扑绝缘体？
• RQ4 在何种条件下拓扑荷守恒定律会失效，以及如何对这些模型进行正则化以使其符合该框架？
• RQ5 当哈密顿量具有克利福德代数分解时，能否利用几何不变量（如映射的次数）实现拓扑荷的高效计算？

主要发现

• 哈密顿量的拓扑荷被定义为通过在原始哈密顿量中添加域壁而构造的约束算子 $ F = H_{d-1} - i m(x_d) $ 的弗雷德霍姆指标。
• 线电导率，即沿一维界面不对称输运的物理可观测量，是量子化的，并等于第二个托普利茨型弗雷德霍姆算子的指标。
• 关键结果是拓扑荷守恒：两个指标——体拓扑不变量与线电导率——完全一致，将体-边对应关系推广至高维。
• 对于具有克利福德代数结构的哈密顿量，拓扑荷由符号导出的映射的次数给出，从而实现简单且显式的计算。
• 该方法适用于一维、二维和三维中的标准及高阶拓扑绝缘体和超导体，包括正则化后的平坦能带模型。
• 该理论不适用于具有本征谱简并（如朗道能级或平坦能带，例如浅水波哈密顿量）的模型，但其正则化版本可被调整以适配该框架。