[论文解读] Topological completely positive entropy is no simpler in $\mathbb Z^2$-SFTs

Linda Brown Westrick|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2019

Cellular Automata and Applications参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文构建了在每个可计算序数阶的 $ζ^2$-SFT（二维有限型移位）中具有拓扑完全正熵（TCPE）的系统，证明了在此类系统中 TCPE 为 $Π^1_1$-完全。该研究解决了一个开放问题，表明 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 并不比一般拓扑系统更简单，且不可能存在算术刻画。

ABSTRACT

We construct Z^2-SFTs at every computable level of the hierarchy of topological completely positive entropy (TCPE), answering Barbieri and García-Ramos, who asked if there was one at level 3. Furthermore, we show the property of TCPE in Z^2-SFTs is coanalytic complete. Thus there is no simpler description of TCPE in Z^2-SFTs than in the general case.

研究动机与目标

• 确定 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 是否具有比一般拓扑系统更简单的算术描述。
• 回答 Barbieri 和 García-Ramos 提出的问题：是否存在一个位于 TCPE 层次结构第 3 级的 $ζ^2$-SFT。
• 证明 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 阶可以达到 $ω_1^{ck}$ 之下的每一个可计算序数。
• 证明 $ζ^2$-SFT 中 TCPE 的复杂度与一般拓扑系统的复杂度一致，描述集论难度未降低。

提出的方法

• 通过使用‘织物’嵌入操作，从可计算的、良基的、肥硕的树构造 $ζ^2$-SFT，以强制实现拓扑结构。
• 利用有效描述集合论，将可计算树的良基性与所构造 SFT 中的 TCPE 关联起来。
• 通过基于树的符号系统所导出的 SFT 的广义传递秩，定义 TCPE 阶的层次结构。
• 采用软硬件计算以施加额外约束，例如分离熵对并控制极限行为。
• 对树施加肥硕性条件，以确保所构造的 SFT 具有正确的 TCPE 阶，避免出现虚假的等价类。
• 通过将可计算树的良基性问题约化为 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE，证明其为 $Π^1_1$-完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个可计算序数 $\alpha < \omega_1^{ck}$ 都能被 $ζ^2$-SFT 实现为 TCPE 阶？
• RQ2 是否存在一个 $ζ^2$-SFT，其 TCPE 位于 Barbieri-García-Ramos 层次结构的第 3 级？
• RQ3 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 性质能否由算术公式刻画，还是其本质复杂？
• RQ4 $ζ^2$-SFT 中 TCPE 的复杂度是否与一般拓扑系统的复杂度一致，还是更简单？
• RQ5 能否通过基于树秩的符号构造，完全控制 SFT 的 TCPE 阶？

主要发现

• 对于每个满足 $\alpha < \omega_1^{ck}$ 的可计算序数 $\alpha$，均存在一个 $ζ^2$-SFT，其 TCPE 阶恰好为 $\alpha$，证明了该层次结构的完全可实现性。
• $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 性质为 $Π^1_1$-完全，意味着不存在更简单的（算术）描述。
• 该构造使用了‘将其置于织物上’的操作，将基于树的 SFT 嵌入 $ζ^2$-SFT，同时保持或使 TCPE 阶加倍。
• 由秩为 $\beta$ 的肥硕树 $T$ 导出的 SFT 的 TCPE 阶为 $2\beta - 1$ 或 $2\beta$，具体取决于树的结构。
• 通过引入额外符号 $\ast$ 和 $\dagger$ 对构造进行修改，可将 TCPE 阶调整至包含极限序数。
• 可计算树 $S$ 的良基性与关联的 $ζ^2$-SFT 中的 TCPE 等价，该等价关系建立了一个约化，从而证明了 $Π^1_1$-完全性。