[论文解读] Topological complexity of arithmetic locally symmetric spaces

Mikołaj Frączyk, Sebastián Hurtado+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2022

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

该论文证明了算术局部对称空间的拓扑复杂度在体积上呈线性增长，贝蒂数在除中间维数外均呈次线性增长。通过精细的马尔古利引理、轨道积分估计以及本尼明-施拉姆收敛性，该研究证实了盖兰德关于一致同伦复杂度的猜想，并通过 $L^2$-贝蒂数证明了贝蒂数随体积渐近线性增长。

ABSTRACT

We prove that any arithmetic locally symmetric space is homotopy equivalent to a simplicial complex where the number of simplices is bounded linearly in the volume of the space. This settles a well-known conjecture of Gelander. The main technical ingredient, which is of independent interest, is a strengthened version of the Margulis' collar lemma for arithmetic locally symmetric spaces based on the height gap theorem of Breuillard, in which the Margulis constant is made linear in the degree of the trace field of the lattice.

研究动机与目标

• 通过将三角剖分大小相对于体积进行有界，建立算术局部对称空间的一致同伦复杂度。
• 分析贝蒂数随体积变化的渐近行为，尤其关注非中间维数的情形。
• 证明半单李群中算术格序列的本尼明-施拉姆收敛性。
• 为非紧对称空间中的算术格改进马尔古利引理与轨道积分估计。
• 阐明迹域次数在控制薄部分与拓扑不变量中的作用。

提出的方法

• 开发了一种新的算术马尔古利引理，以控制算术局部对称空间中薄部分的几何结构。
• 利用轨道积分估计来控制具有小位移的群元素数量。
• 应用专为半单李群中算术格设计的改进版马尔古利引理。
• 运用伽罗瓦上同调与布吕特-蒂茨建筑理论分析共轭类与紧上同调类。
• 通过迹域次数界定薄部分的体积，从而建立本尼明-施拉姆收敛性。
• 结合极限重数结果与 $L^2$-贝蒂数理论，推导出贝蒂数的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 算术局部对称空间的最小三角剖分大小是否随体积线性增长？
• RQ2 算术局部对称空间的贝蒂数是否在除可能的中间维数外均呈次线性增长？
• RQ3 对于迹域次数无界的半单李群中算术格序列，能否建立本尼明-施拉姆收敛性？
• RQ4 轨道积分与位移计数如何约束算术局部对称空间中薄部分的几何结构？
• RQ5 伽罗瓦上同调中的紧上同调类在多大程度上影响算术商的拓扑结构？

主要发现

• 算术局部对称空间的三角剖分中四面体的最小数量至多与体积呈线性关系。
• 贝蒂数随体积增长呈次线性，除可能在中间维数外，证实了该范围外的渐近消失。
• 算术局部对称空间族具有一致同伦复杂度，证实了盖兰德猜想。
• 对于迹域次数无界的算术格序列，本尼明-施拉姆收敛性成立，且薄部分的体积有显式界定。
• 具有小位移的共轭类数量是统一有界的，仅依赖于群的类型。
• 对于同余算术格，贝蒂数满足 $b_k(M) \sim \beta_k^{(2)}(G) \cdot \mathrm{vol}(M)$，其中 $\beta_k^{(2)}(G)$ 是群 $G$ 的第 $k$ 个 $L^2$-贝蒂数。