[论文解读] Topological Criteria for Hypothesis Testing with Finite-Precision Measurements

Philip Boeken, Eduardo Skapinakis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2026

Statistical Methods and Inference被引用 0

一句话总结

该论文在有限精度观测下，利用样本空间的开放决策区域和概率测度的弱拓扑，给出两组统计假设在何时能被一致区分的拓扑必要充分条件。

ABSTRACT

We establish topological necessary and sufficient conditions under which a pair of statistical hypotheses can be consistently distinguished when i.i.d. observations are recorded only to finite precision. Requiring the test's decision regions to be open in the sample-space topology to accommodate finite-precision data, we show that a pair of null- and alternative hypotheses $H_0$ and $H_1$ admits a consistent test if and only if they are $F_σ$ in the weak topology on the space of probability measures $W := H_0\cup H_1$. Additionally, the hypotheses admit uniform error control under $H_0$ and/or $H_1$ if and only if $H_0$ and/or $H_1$ are closed in $W$. Under compactness assumptions, uniform consistency is characterised by $H_0$ and $H_1$ having disjoint closures in the ambient space of probability measures. These criteria imply that - without regularity assumptions - conditional independence is not consistently testable. We introduce a Lipschitz-continuity assumption on the family of conditional distributions under which we recover testability of conditional independence with uniform error control under the null, with testable smoothness constraints.

研究动机与目标

• 在各科学领域中引入有限精度测量下的可检验性问题并指出现有准则的空缺。
• 刻画在 FP-检验中决策区域的开放性时，何时能对两组假设进行一致性检验。
• 将拓扑性质（F_sigma、闭、全开）与各种一致性模式及统一误差控制联系起来。
• 将所建立的框架应用于条件独立性检验，并讨论对正则性假设的含义。

提出的方法

• 用独立同分布样本建模假设检验，并使用对二元结果开放的有限精度检验（FP-检验）。
• 在概率测度的弱拓扑下分析 H0、H1 作为 W=H0∪H1 内的子集。
• 证明等价性：存在一致的FP-检验当且仅当 H0 和 H1 在弱拓扑下是 F_sigma；以及关于统一误差控制的充要条件。
• 通过证明条件独立性的密度及在广义设定下的条件依赖性，探讨对条件独立性的影响，并提出对可回收性的 Lipschitz 正则性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 H0 和 H1 的哪些拓扑条件下存在一致的 FP-检验？
• RQ2 在 H0 和/或 H1 下何时可以实现统一误差控制？
• RQ3 这些拓扑准则对条件独立性检验有何意义？
• RQ4 有限精度考量如何影响假设检验中决策区域的设计？
• RQ5 哪些正则性假设（如 Lipschitz 连续性）能恢复条件独立性的可检验性？

主要发现

• 若 H0 与 H1 在弱拓扑下为 F_sigma，则存在一致的 FP-检验，当且仅当此成立。
• 若 H0 与/或 H1 在 W 中闭，则可实现统一误差控制；且闭集且闭集不相交在紧致性条件下可实现统一一致性。
• 若两个假设在环境空间中相对紧致且闭集互不相交，则存在统一一致的 FP-检验。
• 在一般情形下，条件独立性检验并非完全可一致地进行 FP 检验；在对条件分布施加 Lipschitz 连续性假设时，变得可检验。
• 本文将可检验性与拓扑性质联系起来，显示正则性要求（如开放临界区域）可解决以往工作中提出的问题。