[论文解读] Topological crystalline superconductors with linearly and projectively represented $C_{n}$ symmetry

Chen Fang, B. Andrei Bernevig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Topological Materials and Phenomena被引用 13

一句话总结

该论文对具有 $C_n$ 旋转对称性的拓扑晶体超导体进行分类，区分了旋转的线性表示与广义表示。它在1D和3D中识别出新的拓扑不变量，并在2D中建立了陈类与旋转本征值之间的联系，为3D中的马约拉纳模式建立了有效的表面理论。研究表明，广义表示可导致异常的对称性关系，包括与时间反演对称性的反对易，从而在传统基于时间反演对称性的框架之外，丰富了拓扑超导体的分类体系。

ABSTRACT

We study superconductors with $n$-fold rotational invariance both in the presence and in the absence of spin-orbit interactions. More specifically, we classify the non-interacting Hamiltonians by defining a series of $Z$-numbers for the Bogoliubov-de Gennes (BdG) symmetry classes of the Altland-Zimbauer classification of random matrices in $1$D, $2$D, and $3$D in the presence of discrete rotational invariance. Our analysis emphasizes the important role played by the angular momentum of the Cooper pairs in the system: for pairings of nonzero angular momentum, the rotation symmetry may be represented projectively, and a projective representation of rotation symmetry may have anomalous properties, including the anti-commutation with the time-reversal symmetry. In 1D and 3D, we show how an $n$-fold axis enhances the topological classification and give additional topological numbers; in 2D, we establish a relation between the Chern number (in class D and CI) and the eigenvalues of rotation symmetry at high-symmetry points. For each nontrivial class in 3D, we write down a minimal effective theory for the surface Majorana states.

研究动机与目标

• 使用Altland-Zimbauer BdG对称类对具有 $n$ 重旋转对称性的非相互作用超导哈密顿量进行分类。
• 研究 $C_n$ 对称性的线性表示与广义表示如何影响1D、2D和3D系统中的拓扑不变量。
• 识别出在1D和3D中由于增强的 $C_n$ 对称性而出现的新拓扑不变量，并建立2D系统中高对称点处陈类与旋转本征值之间的关系。
• 为具有非平凡 $Z$-数的3D拓扑晶体超导体中的表面马约拉纳态构建最小有效理论。

提出的方法

• 使用Altland-Zimbauer对称类对随机矩阵系综的分类方法，为具有离散旋转对称性的BdG哈密顿量定义 $Z$-数不变量。
• 分析库珀对角动量在决定 $C_n$ 对称性是线性表示还是广义表示中的作用。
• 应用群表示理论，表明广义表示可与时间反演对称性反对易，从而导致异常的拓扑性质。
• 推导出在 $C_n$ 对称性下，2D系统中高对称点处陈类与旋转本征值之间的关系。
• 通过分析体-边界对应关系和对称性保护，构建3D拓扑晶体超导体的有效表面理论。
• 在动量空间中采用威尔逊环和贝里曲率技术计算拓扑不变量，特别是在 $C_\infty$ 极限下。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $C_n$ 旋转对称性以广义表示实现时，它如何影响超导体的拓扑分类？
• RQ2 在具有 $C_n$ 对称性的1D和3D超导体中，哪些新的拓扑不变量出现，它们与库珀对角动量有何关系？
• RQ3 在2D中，陈类如何与高对称动量点处旋转算符的本征值相关联？
• RQ4 即使时间反演对称性被保留，$C_n$ 的广义表示是否仍可导致非平凡的拓扑不变量？
• RQ5 具有非平凡 $Z$-数的3D拓扑晶体超导体中，表面马约拉纳态的结构是怎样的？

主要发现

• 在1D和3D中，$n$ 重旋转对称性增强了拓扑分类，引入了在无旋转对称性时不存在的额外 $Z$-数不变量。
• 在2D中，D类和CI类超导体的陈数与高对称动量点处旋转算符的本征值直接相关。
• 对 $C_n$ 对称性的广义表示可导致与时间反演对称性的异常反对易关系，表明存在非平凡的拓扑行为。
• 对于3D中每个非平凡的拓扑类，作者构建了描述表面马约拉纳态的最小有效理论，这些表面态受 $C_n$ 对称性保护。
• 分析表明，在 $C_\infty$ 极限下，威尔逊环给出的陈数等于 $k=0$ 和 $k=\infty$ 处角动量量子数之差，通过动量空间几何确认了该拓扑不变量。
• 该论文确立了非平凡的 $C_n$ 对称性广义表示的存在，可导致标准基于时间反演对称性的分类框架无法捕捉的拓扑相。