[论文解读] Topological data analysis on noisy quantum computers

Ismail Yunus Akhalwaya, Shashanka Ubaru+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 12

一句话总结

该论文提出NISQ-TDA，一种面向噪声量子计算机的近期量子机器学习算法，用于拓扑数据分析（TDA），在噪声量子计算机上实现了可证明的渐近加速。该算法通过短深度量子线路高效计算高阶贝蒂数，避免了数据加载瓶颈，并在模拟器和真实设备上均表现出对噪声的鲁棒性，从而实现了对宇宙学数据中非高斯性的检测，超越经典方法的极限。

ABSTRACT

Topological data analysis (TDA) is a powerful technique for extracting complex and valuable shape-related summaries of high-dimensional data. However, the computational demands of classical algorithms for computing TDA are exorbitant, and quickly become impractical for high-order characteristics. Quantum computers offer the potential of achieving significant speedup for certain computational problems. Indeed, TDA has been purported to be one such problem, yet, quantum computing algorithms proposed for the problem, such as the original Quantum TDA (QTDA) formulation by Lloyd, Garnerone and Zanardi, require fault-tolerance qualifications that are currently unavailable. In this study, we present NISQ-TDA, a fully implemented end-to-end quantum machine learning algorithm needing only a short circuit-depth, that is applicable to high-dimensional classical data, and with provable asymptotic speedup for certain classes of problems. The algorithm neither suffers from the data-loading problem nor does it need to store the input data on the quantum computer explicitly. The algorithm was successfully executed on quantum computing devices, as well as on noisy quantum simulators, applied to small datasets. Preliminary empirical results suggest that the algorithm is robust to noise.

研究动机与目标

• 开发一种完全实现、端到端的拓扑数据分析（TDA）量子算法，可在近期噪声中等规模量子（NISQ）设备上运行。
• 通过避免在量子处理器上显式存储经典输入数据，克服量子机器学习中常见的数据加载问题。
• 在无需容错量子计算的前提下，为某些类别的TDA问题实现可证明的渐近加速。
• 在非容错设置下利用量子优势，实现此前经典方法无法实现的高阶贝蒂数计算。
• 在实验上展示对噪声的鲁棒性，并为近期量子优势在TDA中的实现提供目标噪声水平和线路深度阈值。

提出的方法

• 将单纯复形中的完整边界算符高效分解为泡利算符之和，以支持量子线路实现。
• 采用量子拒绝采样与投影技术，将量子态限制在复形中特定阶数的单纯形上。
• 使用随机秩估计方法，从量子态投影中计算近似贝蒂数。
• 为输出估计建立加法误差保证，并给出线路深度和计算复杂度的正式界。
• 在噪声量子模拟器和真实量子设备上执行算法，使用小型经典数据集。
• 采用贝叶斯学习与BayesTDA结合，基于持久同调特征（如贝蒂数）对分布进行分类，使用AUC和贝叶斯因子进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个完全实现的量子TDA算法是否能在NISQ设备上实现无需容错的可证明渐近加速？
• RQ2 高阶贝蒂数是否能高效计算于噪声量子硬件上，从而避免经典计算瓶颈？
• RQ3 该算法在真实量子设备和噪声模拟器中是否对噪声保持鲁棒？
• RQ4 该算法是否能比经典TDA更灵敏地区分宇宙学数据（如CMB）中的非高斯分布？
• RQ5 实现TDA中近期量子优势所需的目标噪声水平和线路深度是多少？

主要发现

• NISQ-TDA算法在噪声量子模拟器和真实设备上成功计算了高阶贝蒂数，证明了其在小数据集上的可行性。
• 该算法为贝蒂数估计提供了可证明的加法误差保证，并给出了线路深度和计算复杂度的正式界。
• 初步结果表明算法对噪声具有鲁棒性，当结合多个贝蒂数（如β₁和β₂）进行分类时，AUC准确率提升，能更有效地区分高斯与指数分布。
• 该方法可在模拟CMB数据中检测到f_NL ~ O(10)量级的非高斯性，表明其灵敏度可能超越经典TDA。
• 该算法通过不需在量子处理器上显式存储输入数据，避免了数据加载问题，从而可应用于任意经典数据。
• 已估算出实现近期TDA量子优势的目标噪声水平和线路深度，为后续实现提供指导。