[论文解读] Topological Entropy and Algebraic Entropy for group endomorphisms

Dikran Dikranjan, Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 46被引用 27

一句话总结

本文全面综述并扩展了群自同态的拓扑熵与代数熵理论，引入了新型集合论熵与e-谱，并建立了与Lehmer问题及几何群论的联系。通过范畴论框架统一了熵的概念，证明了代数熵诱导出一个遗传挠理论，并通过在直积与逆积极限下的连续性，区分了协变（代数）与反变（拓扑）熵函数。

ABSTRACT

The notion of entropy appears in many fields and this paper is a survey about entropies in several branches of Mathematics. We are mainly concerned with the topological and the algebraic entropy in the context of continuous endomorphisms of locally compact groups, paying special attention to the case of compact and discrete groups respectively. The basic properties of these entropies, as well as many examples, are recalled. Also new entropy functions are proposed, as well as generalizations of several known definitions and results. Furthermore we give some connections with other topics in Mathematics as Mahler measure and Lehmer Problem from Number Theory, and the growth rate of groups and Milnor Problem from Geometric Group Theory. Most of the results are covered by complete proofs or references to appropriate sources.

研究动机与目标

• 统一并扩展局部紧群自同态的拓扑熵与代数熵理论。
• 引入并研究两种新型集合论熵函数：协变与反变集合论熵。
• 通过阿贝尔群的e-谱，建立熵、Mahler测度与Lehmer问题之间的联系。
• 在阿贝尔与半阿贝尔范畴中推广熵函数，基于在直积与逆积极限下的连续性，区分协变与反变类型。
• 证明代数熵诱导出一个遗传挠理论，并且二元熵函数与此类理论之间存在双射对应关系。

提出的方法

• 为集合上的自映射定义协变与反变集合论熵，作为计算拓扑熵与代数熵的工具。
• 利用庞特里亚金对偶性，将紧致群上的拓扑熵与离散群上的代数熵联系起来。
• 将群的e-谱定义为熵在自同态下取值的集合，通过Mahler测度与Lehmer问题建立联系。
• 证明代数熵在直积极限下连续，拓扑熵在逆积极限下连续，从而支持协变与反变熵函数的区分。
• 在阿贝尔与半阿贝尔范畴中形式化熵函数，证明代数熵生成一个遗传根与一个遗传挠理论。
• 将该框架应用于Bernoulli移位，表明左/右移位在离散与紧致范畴中分别产生0或log|K|的熵值。

实验结果

研究问题

• RQ1 新引入的集合论熵函数与群自同态中的拓扑熵和代数熵有何关系？
• RQ2 e-谱在连接熵与Lehmer问题等数论问题中起何种作用？
• RQ3 熵函数在直积与逆积极限下的连续性特征，如何区分代数熵与拓扑熵？
• RQ4 阿贝尔范畴中的熵函数能否通过其生成的遗传挠理论进行分类？
• RQ5 二元熵函数在捕捉范畴中熵的完整结构方面具有何种意义？

主要发现

• 在离散群上，左Bernoulli移位的代数熵为0，而右Bernoulli移位的熵为log|K|，反映了离散情形下的对偶性。
• 在紧致群上，左Bernoulli移位的拓扑熵为log|K|，而右移位的熵为0，表明拓扑熵具有反变性质。
• 阿贝尔群的e-谱捕获了其所有自同态可能的熵值，其结构与Mahler测度及Lehmer问题密切相关。
• 代数熵在阿贝尔群范畴上诱导出一个遗传根，相应的挠理论完全由熵函数决定。
• 在范畴中，二元熵函数与遗传挠理论之间存在双射且保序的对应关系，表明二元函数不包含冗余信息。
• 在紧致群范畴中，拓扑熵关于逆积极限是连续的；在离散群范畴中，代数熵关于直积极限是连续的，从而支持了协变/反变的区分。