[论文解读] Topological Entropy and bulging deformation of real projective structures on surface

Patrick Foulon, Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文通过沿简单闭曲线的鼓胀形变（bulging deformations）——一种沿中性特征向量方向拉伸域的连续形变——研究了闭曲面上严格凸实射影结构上测地流的拓扑熵。关键结果是构造了一个发散的此类结构序列，其拓扑熵收敛于 (0,1) 内任意预设值，通过受控的形变参数实现了该区间内熵值的稠密分布。

ABSTRACT

In this paper we study the deformation of strictly convex real projective structures on a closed surface. Specially we study the deformation in terms of the entropy on bulging deformations. As a byproduct we construct a sequence of divergent structures whose topological entropy converges to a designated number between 0 and 1.

研究动机与目标

• 通过拓扑熵分析测地流在严格凸实射影结构上的动力行为。
• 理解此类结构在沿分离与非分离简单闭曲线进行鼓胀形变时的极限行为。
• 构造一个发散实射影结构序列，其拓扑熵收敛于 (0,1) 内指定值。
• 通过使用鼓胀（竖直）参数而非内部参数，扩展已知的熵收敛结果。

提出的方法

• 利用 Goldman 定义的鼓胀形变——一种沿曲面裤分解的连续形变族，由竖直（鼓胀）参数 s 参数化。
• 分析当 s → ±∞ 时严格凸域的 Gromov-Hausdorff 极限，表明其收敛于带有附着半开圆柱或完整圆柱的非严格凸结构。
• 利用成对裤状区域中闭测地线计数的增长率估计，以界定整个曲面的拓扑熵。
• 利用曲面 S\P 中曲线长度在鼓胀下保持不变的事实，而此处未变化的内部参数可用于调节长度以控制熵。
• 应用涉及 M_s、q_s 和 r_s 的渐近估计，表明非裤状区域的熵贡献在极限下消失。
• 通过结合从双曲结构到低熵裤状区域的路径，利用参数空间中熵的连续性，构造对角序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 当鼓胀参数 s 沿分离曲线 γ 趋于 ∞ 时，严格凸实射影结构的拓扑熵如何变化？
• RQ2 能否构造一个发散的实射影结构序列，使其拓扑熵收敛于 (0,1) 内任意给定值？
• RQ3 当 s → ±∞ 时，域的极限结构在鼓胀形变下的行为如何，特别是其凸性与几何性质？
• RQ4 当 s → ∞ 时，全曲面的拓扑熵是否收敛于裤分解中各对裤状区域熵的最大值？
• RQ5 鼓胀形变过程中，拓扑熵是否单调？

主要发现

• 当沿分离曲线 γ 有 s → ∞ 时，S\γ 的一个分量上的严格凸结构收敛于具有附着半开圆柱的非严格凸结构，且体积无限。
• 当 s → -∞ 时，极限结构的 γ 轴位于其边界上，形成附着于曲面的有限圆柱。
• 对于非分离曲线，极限结构涉及在 γ 的每个副本上附着一个圆柱。
• 在鼓胀形变下，全曲面的拓扑熵收敛于裤分解中各对裤状区域拓扑熵的最大值，当 s → ∞ 时。
• 存在一个发散的实射影结构序列，使得其拓扑熵收敛于任意预设值 α ∈ (0,1)，通过结合低熵裤状区域与鼓胀形变的对角论证得以证明。
• 非裤状区域中的测地线对熵估计的贡献在极限下消失，确认熵在渐近意义上由裤状区域决定。