[论文解读] Topological entropy and complexity for discrete dynamical systems

N. Abarenkova, J C Anglès d'Auriac+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1998

Graph theory and applications被引用 11

一句话总结

本文研究了一个二维有理离散动力系统的双参数族，以探讨拓扑熵与Arnold复杂度之间的关系。通过不动点和迭代次数的生成函数，作者提出了一个有理表达式猜想，该猜想可为复杂度增长和指数型拓扑熵提供代数数值，且在所有参数值下二者相等，该结论得到了一种半数值方法的支持，该方法还识别出了可积情形。

ABSTRACT

To test a possible relation between the topological entropy and the Arnold complexity, and to provide a non trivial example of a rational dynamical zeta function, we introduce a two-parameter family of two-dimensional discrete rational mappings. The generating functions of the number of fixed points, and of the degree of the successive iterates, are both considered. We conjecture rational expressions with integer coefficients for these two generating functions. and a rational expression for the dynamical zeta function. We then deduce algebraic values for the complexity growth and for the exponential of the topological entropy. Moreover, these two numbers happen to be equal for all the values of the parameters. These conjectures are supported by a semi-numerical method we explain. This method also localizes the integrable cases.

研究动机与目标

• 检验离散动力系统中拓扑熵与Arnold复杂度之间猜想关系的成立性。
• 提供一个有理动力zeta函数的非平凡例子。
• 研究二维有理映射双参数族中不动点与迭代次数生成函数的性质。
• 确定复杂度增长速率与指数型拓扑熵是否在所有参数值下相等。
• 利用半数值方法识别可积情形。

提出的方法

• 引入二维离散有理映射的双参数族。
• 定义不动点数量与连续迭代次数的生成函数。
• 为这些生成函数猜想具有整数系数的有理表达式。
• 从生成函数推导出动力zeta函数的有理表达式。
• 使用半数值方法验证猜想，并定位可积参数区域。
• 从猜想的表达式中计算复杂度增长速率与指数型拓扑熵的代数数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在这一类离散动力系统中，拓扑熵与Arnold复杂度之间是否存在一致的关系？
• RQ2 不动点与迭代次数的生成函数能否表示为具有整数系数的有理函数？
• RQ3 在双参数族的所有参数值下，复杂度增长速率与指数型拓扑熵是否一致？
• RQ4 系统在何种条件下变为可积，以及如何定位这些条件？
• RQ5 在此设定下，动力zeta函数能否表示为有理函数？

主要发现

• 不动点数量与迭代次数的生成函数被猜想为具有整数系数的有理函数。
• 复杂度增长速率与指数型拓扑熵为代数数，且在该族的所有参数值下均相等。
• 动力zeta函数被猜想为有理函数，为该语境下提供了一个非平凡的例子。
• 半数值方法支持了猜想，并成功定位了对应于可积情形的区域。
• 复杂度增长与指数型拓扑熵的相等性在整个双参数空间中成立，暗示了深层次的结构性联系。