[论文解读] Topological Entropy Bounds for Switched Linear Systems with Lie Structure

James Schmidt|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 6

一句话总结

该论文通过利用底层李代数的可解性及基于特征值的分析，建立了具有李代数结构的切换线性系统的拓扑熵上界。通过引入‘激活时间的上界平均值’并利用类似李雅普诺夫函数与多项式界分析增长速率，证明了熵的上界等于系统三角化结构中所有特征值正部之和。

ABSTRACT

In this thesis, we provide an initial investigation into bounds for topological entropy of switched linear systems. Entropy measures, roughly, the information needed to describe the behavior of a system with finite precision on finite time horizons, in the limit. After working out entropy computations in detail for the scalar switched case, we review the linear time-invariant nonscalar case, and extend to the nonscalar switched case. We assume some commutation relations among the matrices of the switched system, namely solvability, define an upper average time of activation quantity and use it to provide an upper bound on the entropy of the switched system in terms of the eigenvalues of each subsystem.

研究动机与目标

• 研究切换线性系统中的拓扑熵，特别是当子系统矩阵生成一个可解李代数时的情况。
• 将标量系统与时不变线性系统的熵界扩展至更复杂的切换非标量情形。
• 利用同时三角化与特征值分解等结构特性，推导出可计算的熵上界。
• 通过一种新颖的‘激活时间的上界平均值’度量，形式化开关频率与激活时间分布对熵增长的作用。
• 统一动力系统、控制理论与李代数理论的概念，以分析切换系统的复杂性。

提出的方法

• 使用拓扑熵作为系统轨迹在时间上近似所需覆盖集的指数增长速率的概念。
• 通过 $(T,\varepsilon)$-张集的定义应用熵的定义，并在状态空间中构建基于网格的覆盖论证。
• 引入依赖时间的李雅普诺夫函数 $\eta_{n-i}(t)$ 以限制解的分离并控制增长速率。
• 对子系统组件进行归纳，以包含多项式与指数项的方式，界定向量状态转移矩阵的范数。
• 通过依赖于特征值正部 $\mathfrak{h}_i^+$ 与扰动项 $q(\delta)\delta$ 的指数项，推导出 $(T,\varepsilon)$-张集点数的界。
• 取时间 $T$ 的对数增长速率，应用上极限，并通过对 $\delta > 0$ 取下确界消除扰动项，从而得到清晰的基于特征值的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 切换线性系统的拓扑熵如何依赖于其子系统矩阵的李代数结构？
• RQ2 当系统矩阵可同时三角化且李代数可解时，能否推导出熵的上界？
• RQ3 每个子系统的激活时间平均值在决定熵增长中起什么作用？
• RQ4 如何控制解范数中的多项式与指数项，以获得有限的熵界？
• RQ5 在仅使用单个子系统的特征值与开关频率的前提下，切换系统的熵在多大程度上可被界定？

主要发现

• 具有可解李代数的切换线性系统的拓扑熵，其上界由子系统矩阵特征值的正部之和所决定。
• 该上界通过一种新颖的‘激活时间的上界平均值’度量推导得出，该度量捕捉了开关频率的影响。
• 只要李代数可解且各子系统稳定，该上界与开关信号无关。
• 熵的上界表达为 $ h(A_{\sigma}) \leq \sum_{i=1}^{n} (\mathfrak{h}_1^+ + \cdots + \mathfrak{h}_i^+) $，其中 $ \mathfrak{h}_i^+ $ 为特征值的正部。
• 推导过程通过在 $ \delta > 0 $ 上取下确界，严格消除了扰动项，确保了界是紧致且依赖于特征值的。
• 该方法将标量与时不变系统的熵界推广至具有李代数结构的切换非标量情形。