[论文解读] Topological entropy for automorphisms of totally disconnected locally compact groups

Anna Giordano Bruno|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Advanced Topology and Set Theory被引用 4

一句话总结

本文为在完全不连通局部紧群上自同构的拓扑熵提供了一个无极限的公式，证明了 $ H_{\text{top}}(\theta, U) = \log[\theta(C(\theta^{-1}, U)) : C(\theta^{-1}, U))] $。该公式简化了计算，并将此前仅在紧致群中成立的关键性质——如共轭下的不变性、单调性、对数律、逆极限下的连续性以及弱加法定理——扩展到了更广泛的完全不连通局部紧群范畴。

ABSTRACT

We give a "limit-free formula" simplifying the computation of the topological entropy for topological automorphisms of totally disconnected locally compact groups. This result allows us to extend several basic properties of the topological entropy known to hold for compact groups.

研究动机与目标

• 为完全不连通局部紧群上自同构的拓扑熵提供一个无极限的计算公式。
• 将此前仅在紧致群中成立的拓扑熵基本性质——如共轭下的不变性、单调性、对数律、逆极限下的连续性以及弱加法定理——推广至完全不连通局部紧群的更广泛设定中。
• 建立拓扑熵与威利斯尺度函数之间的联系，特别是通过等式 $ \log s(\phi) \leq h_{\text{top}}(\phi) $。
• 在非紧致设定下验证弱加法定理与逆极限下的连续性。
• 解决关于完整加法定理及无极限公式向局部紧群连续自同态推广的开放问题。

提出的方法

• 为 $ U \in \mathcal{B}(G) $（即开紧致子群族）定义第 $ n $ 个 $ \phi $-共轨迹 $ C_n(\phi, U) = U \cap \phi^{-1}(U) \cap \cdots \cap \phi^{-n+1}(U) $。
• 引入 $ \phi $-共轨迹 $ C(\phi, U) = \bigcap_{n=1}^\infty C_n(\phi, U) $，其为包含在 $ U $ 中的最大 $ \phi $-不变子群。
• 证明拓扑熵 $ h_{\text{top}}(\phi) $ 是所有 $ U \in \mathcal{B}(G) $ 上 $ H_{\text{top}}(\phi, U) = \lim_{n \to \infty} \frac{\log[U : C_n(\phi, U)]}{n} $ 的上确界。
• 建立关键结果：$ H_{\text{top}}(\phi, U) = \log[\phi(C(\phi^{-1}, U)) : C(\phi^{-1}, U)] $，从而消除了对极限的依赖。
• 利用指数与自同构的群论性质，包括 $ [G:H] = [G:K][K:H] $ 和 $ [KH:H] = [K:H \cap K] $，推导出该公式。
• 应用该公式证明共轭下的不变性、单调性、对数律、逆极限下的连续性以及弱加法定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为完全不连通局部紧群上自同构的拓扑熵推导出一个无极限公式？
• RQ2 在此设定下，弱加法定理 $ h_{\text{top}}(\phi \times \psi) = h_{\text{top}}(\phi) + h_{\text{top}}(\psi) $ 是否成立？
• RQ3 当 $ \log s(\phi) = h_{\text{top}}(\phi) $ 时，尺度函数与拓扑熵之间等式成立的条件是什么？
• RQ4 无极限公式能否推广至局部紧群的连续自同态？
• RQ5 对于闭的正规 $ \phi $-不变子群，完整加法定理 $ h_{\text{top}}(\phi) = h_{\text{top}}(\phi|_N) + h_{\text{top}}(\overline{\phi}) $ 是否成立？

主要发现

• 本文建立了无极限公式：$ H_{\text{top}}(\phi, U) = \log[\phi(C(\phi^{-1}, U)) : C(\phi^{-1}, U)] $，实现了无需取极限的直接计算。
• 该公式将此前仅在紧致群中成立的结果推广至完全不连通局部紧群，同时保持了关键熵性质。
• 对数律 $ h_{\text{top}}(\phi^k) = k \cdot h_{\text{top}}(\phi) $ 对所有正整数 $ k $ 成立，其证明基于指数的乘法性质。
• 验证了拓扑熵在逆极限下的连续性：当 $ \bigcap N_i = \{1\} $ 时，有 $ h_{\text{top}}(\phi) = \sup_i h_{\text{top}}(\overline{\phi}_i) $。
• 弱加法定理成立：$ h_{\text{top}}(\phi \times \psi) = h_{\text{top}}(\phi) + h_{\text{top}}(\psi) $，其推导基于积群中指数的乘法性质。
• 证明了 $ \log s(\phi) \leq h_{\text{top}}(\phi) $，且等式成立的条件可通过 $ C(\phi^{-1}, U) $ 的结构与尺度函数表征。