[论文解读] Topological entropy of continuous actions of compactly generated groups

Friedrich Martin Schneider|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文引入了紧生成拓扑群在紧致豪斯多夫空间上连续作用的拓扑熵新概念。证明了拓扑熵为零蕴含群的可约性，并确立了紧生成局部紧群 $G$ 在 $L^∞(G)$ 的弱-* 单位球上的典范作用的拓扑熵为零当且仅当 $G$ 是紧致的，而当 $G$ 是几乎连通且非紧致时，其拓扑熵为无穷大。

ABSTRACT

We introduce a notion of topological entropy for continuous actions of compactly generated topological groups on compact Hausdorff spaces. It is shown that any continuous action of a compactly generated topological group on a compact Hausdorff space with vanishing topological entropy is amenable. Given an arbitrary compactly generated locally compact Hausdorff topological group $G$, we consider the canonical action of $G$ on the closed unit ball of $L^{1}(G)' \cong L^{\infty}(G)$ endowed with the corresponding weak-$^{\ast}$ topology. We prove that this action has vanishing topological entropy if and only if $G$ is compact. Furthermore, we show that the considered action has infinite topological entropy if $G$ is almost connected and non-compact.

研究动机与目标

• 将拓扑熵的概念扩展至紧生成拓扑群在紧致豪斯多夫空间上的连续作用。
• 建立拓扑熵为零与群作用可约性之间的联系。
• 刻画紧生成局部紧群 $G$ 在 $L^\infty(G)$ 的弱-* 单位球上的典范作用的拓扑熵。
• 根据群的结构，确定该典范作用在何时具有零或无穷大的拓扑熵。

提出的方法

• 通过有限开覆盖及其精化，引入紧生成拓扑群在紧致豪斯多夫空间上连续作用的拓扑熵的新定义。
• 应用群作用下开覆盖的 $S^n$-精化概念，以度量覆盖复杂度的增长。
• 利用对偶空间 $L^1(G)' \cong L^\infty(G)$，并在闭单位球上赋予弱-* 拓扑，以定义 $G$ 的典范作用。
• 采用紧生成集 $S$，并分析覆盖数 $(S^n:\mathcal{V})_\alpha$ 的增长速率，以定义熵量 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$。
• 应用引理 2.2，确保紧致集包含在生成集更高次幂的内部。
• 利用几乎连通群的结构，以及对单位邻域 $U$ 有 $\bigcup_n U^n$ 非紧致的性质，构造出精化复杂度呈指数增长的覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧生成拓扑群在紧致豪斯多夫空间上的连续作用，零拓扑熵是否蕴含可约性？
• RQ2 对于紧生成局部紧群 $G$ 在 $L^\infty(G)$ 的弱-* 单位球上的典范作用，何时其拓扑熵为零？
• RQ3 该典范作用在何时具有无穷大的拓扑熵？
• RQ4 该典范作用的拓扑熵与 $G$ 的紧致性有何关系？
• RQ5 群 $G$ 的几乎连通性与其典范作用的熵之间存在何种关系？

主要发现

• 紧生成拓扑群在紧致豪斯多夫空间上的连续作用的拓扑熵为零，意味着该作用是可约的。
• 紧生成局部紧豪斯多夫群 $G$ 在 $L^\infty(G)$ 的弱-* 单位球上的典范作用 $\alpha$ 的拓扑熵为零，当且仅当 $G$ 是紧致的。
• 若 $G$ 是几乎连通且非紧致的，则典范作用 $\alpha$ 的拓扑熵为无穷大。
• 对任意非紧致 $G$，存在一个二元开覆盖 $\mathcal{V}$，使得 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V}) \geq \frac{1}{2k}$，其中 $k$ 是满足 $S^n$ 为单位邻域的最小 $n$。
• 对几乎连通且非紧致的 $G$，熵量 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$ 可被无限放大，从而证明了无穷大的拓扑熵。