[论文解读] Topological entropy of Lorenz-like flows

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 11

一句话总结

该论文证明了C¹流中的Lorenz型类具有正的拓扑熵，且熵是向量场的连续函数；这些类是熵膨胀的，并且通常为吸引子。利用熵理论，作者证明了这些类包含横截同宿轨道，并将3D奇异双曲吸引子的结果推广至高维及一般鲁棒动力系统。

ABSTRACT

We use entropy theory as a new tool for studying Lorenz-like classes of flows in any dimension. More precisely, we show that every Lorenz-like class is entropy expansive, and has positive entropy which varies continuously with vector fields. We deduce that every such class contains a transverse homoclinic orbit and, generically, is an attractor.

研究动机与目标

• 开发一种基于熵理论的新型分析框架，用于研究高维流中的Lorenz型类。
• 证明此类类具有正的拓扑熵，表明其存在混沌动力学。
• 证明在拟吸引子情形下，Lorenz型类的拓扑熵随向量场的C¹小扰动连续变化。
• 证明在一般C¹条件下，Lorenz型类通常是吸引子。
• 将对鲁棒遍历动力系统的理解从3D奇异双曲吸引子推广至更高维。

提出的方法

• 应用熵理论分析C¹流中Lorenz型类的拓扑熵。
• 利用熵膨胀性概念控制类附近不变集的复杂性。
• 利用截面双曲结构（主导分解 $E^s \oplus F^{cu}$），其中 $E^s$ 具有均匀收缩性，$F^{cu}$ 具有截面扩张性。
• 利用链递归类的李雅普诺夫稳定性，构造嵌套的吸引邻域。
• 应用连接引理和λ-引理论证，证明稳定与不稳定流形之间的横截相交。
• 利用剩余集论证（Kupka-Smale，通用性）在一般条件下证明吸引子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 C¹流中的每个Lorenz型类是否都具有正的拓扑熵？
• RQ2 当向量场发生C¹小扰动时，Lorenz型类的拓扑熵是否连续变化？
• RQ3 Lorenz型类是否必然包含横截同宿轨道？
• RQ4 在何种一般条件下，Lorenz型类是吸引子？
• RQ5 熵膨胀理论是否可应用于非孤立的、非双曲的不变集（如Lorenz型类）？

主要发现

• 每个Lorenz型类都具有正的拓扑熵，表明混沌动力学的存在。
• 当类为拟吸引子且所有奇点均为双曲时，Lorenz型类的拓扑熵随向量场连续变化。
• Lorenz型类在其邻域内是熵膨胀的，这意味着熵相关性质具有结构稳定性。
• 每个Lorenz型类都包含一个非平凡的同宿类，证实了横截同宿轨道的存在。
• 对于一般的C¹星流，每个非平凡的李雅普诺夫稳定的链递归类都是Lorenz型吸引子。
• 在一般的C¹剩余子集中，星流仅有有限个吸引子，其吸引域覆盖了流形的开稠密子集。