[论文解读] Topological entropy of minimal geodesics and volume growth on surfaces

Gerhard Knieper, Carlos Ogouyandjou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明，对于任意亏格至少为2的闭黎曼曲面，其测地流在极小测地线上的限制的拓扑熵等于该度量的体积熵。通过在万有覆盖空间中利用熵扩张性和体积增长估计，作者通过上下界控制极小测地线的拓扑熵，从而证明了等式成立，推广了此前对非正曲率情形的结果，并将其扩展至双曲型曲面。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact Riemannian manifold of hyperbolic type, i.e M is a manifold admitting another metric of strictly negative curvature. In this paper we study the geodesic flow restricted to the set of geodesics which are minimal on the universal covering. In particular for surfaces we show that the topological entropy of the minimal geodesics coincides with the volume entropy of (M, g) generalizing work of Freire and Mane.

研究动机与目标

• 建立紧黎曼曲面上极小测地线的拓扑熵与体积熵相等。
• 将Freire与Mañé的结果（该结果适用于无共轭点的度量）推广至双曲型曲面。
• 证明曲面上测地流在极小测地线上的限制具有等于该度量体积增长的熵。
• 证明在曲面上极小测地线的非游荡集上，熵扩张性成立，从而支持熵等式结果。

提出的方法

• 使用Bowen在度量空间上对自同胚的拓扑熵定义，特别适用于单位切丛上的测地流。
• 定义局部拓扑熵，并利用β-熵扩张性的概念，控制万有覆盖空间紧子集上流的复杂性。
• 在万有覆盖空间中应用体积增长估计，通过比较定理和管状邻域中的有限体积增长，控制极小测地线的(n,ε)-分离集数量。
• 在万有覆盖空间中构造按图性质排序的极小测地线嵌套族，并利用其不相交性与体积下界，控制紧集内此类测地线的数量。
• 通过二维情形下的β-熵扩张性与体积增长论证，证明极小测地线流的拓扑熵上界不超过体积熵。
• 利用极小测地线的非游荡集在不变测度下具有全测度的事实，将完整极小测地线流的拓扑熵与非游荡部分的熵相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双曲型曲面上，测地流在极小测地线上的限制的拓扑熵是否等于体积熵？
• RQ2 在曲面上，极小测地线上的测地流在非游荡集上是否为β-熵扩张？
• RQ3 在二维情形下，能否证明极小测地线的拓扑熵上界与体积熵相等？
• RQ4 拓扑熵与体积熵的等式关系是否可从非正曲率情形推广至双曲型曲面？

主要发现

• 对于任意亏格至少为2的闭黎曼曲面，其测地流在极小测地线上的限制的拓扑熵等于该度量的体积熵。
• 在曲面上，极小测地线上的测地流在非游荡集上是β-熵扩张的，这使得熵等式结果得以成立。
• 通过万有覆盖空间中的体积增长估计，利用紧集与管状邻域，极小测地线的拓扑熵上界被控制在体积熵之内。
• 极小测地线的拓扑熵下界至少为体积熵，此结论由Katok与Hasselblatt的一般性结果所确立。
• 该结果可通过相同方法推广至Finsler度量，使用等价范数与通过背景黎曼度量定义的体积熵。
• 通过约化至可定向双重覆盖或直接计算，该等式对所有闭曲面（包括2-球面与2-环面）均成立。